Mister Exam

Determinar el tipo de la superficie de 2 orden en línea

la superficie

Demos ejemplos de las superficies de segundo orden para las cuales se puede determinar la forma canónica en línea:

+------------------------+---------------------+--------------+------------+
| Ecuación               | Forma canónica      | Tipo         | Dimensión  |
+------------------------+---------------------+--------------+------------+
|                        | z^2/(2/sqrt(2)/     |              | Superficie |
| 2*x^2+4*y^2+z^2-       |                     | Elipsoide    |            |
| 4*x*y-4*y-2*z+5=0      | sqrt(3-sqrt(5)))^2+ | imaginario   |            |
|                        | x^2/(2/sqrt(2)/     |              |            |
|                        |                     |              |            |
|                        | sqrt(3+sqrt(5)))^2+ |              |            |
|                        | y^2/(2/sqrt(2))^2   |              |            |
|                        | =-1                 |              |            |
+------------------------+---------------------+--------------+------------+
|                        | x^2/1^2+y^2-z^2=-1  |              | Superficie |
| x^2+y^2-z^2-           |                     | Hiperboloide |            |
| 2*x-2*y+2*z+2=0        |                     | bilatera     |            |
+------------------------+---------------------+--------------+------------+
|                        |                     |              | Superficie |
| x^2+y^2-6*x+           |                     | Paraboloide  |            |
| 6*y-4*z+18=0           | x^2/2+y^2-2*z=0 o   | elíptico     |            |
|                        | x^2/2+y^2+2*z=0     |              |            |
+------------------------+---------------------+--------------+------------+
|                        | x^2/=1/14           |              | Superficie |
| x^2+4*y^2+9*z^2+4*x*y+ |                     | Dos planos   |            |
|                        |                     | paralelos    |            |
| 12*y*z+6*x*z-4*x-      |                     |              |            |
| 8*y-12*z+3=0           |                     |              |            |
+------------------------+---------------------+--------------+------------+

El estudio para determinar el tipo tendrá una forma aproximada así:

Se da la ecuación de superficie de 2 grado:

     2    2    2
2 + x  + y  - z  - 2*x - 2*y + 2*z = 0

Esta ecuación tiene la forma:

           2        2        2
a44 + a11*x  + a22*y  + a33*z  + 2*a14*x + 2*a24*y + 2*a34*z + 2*a12*x*y + 2*a13*x*z + 2*a23*y*z = 0

donde

a11 = 1

a12 = 0

a13 = 0

a14 = -1

a22 = 1

a23 = 0

a24 = -1

a33 = -1

a34 = 1

a44 = 2

Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:

I1 = a11 + a22 + a33

     |a11  a12|   |a22  a23|   |a11  a13|
I2 = |        | + |        | + |        |
     |a12  a22|   |a23  a33|   |a13  a33|

     |a11  a12  a13|
     |             |
I3 = |a12  a22  a23|
     |             |
     |a13  a23  a33|

     |a11  a12  a13  a14|
     |                  |
     |a12  a22  a23  a24|
I4 = |                  |
     |a13  a23  a33  a34|
     |                  |
     |a14  a24  a34  a44|

            |a11 - lambda      a12           a13     |
            |                                        |
I(lambda) = |    a12       a22 - lambda      a23     |
            |                                        |
            |    a13           a23       a33 - lambda|

     |a11  a14|   |a22  a24|   |a33  a34|
K2 = |        | + |        | + |        |
     |a14  a44|   |a24  a44|   |a34  a44|

     |a11  a12  a14|   |a22  a23  a24|   |a11  a13  a14|
     |             |   |             |   |             |
K3 = |a12  a22  a24| + |a23  a33  a34| + |a13  a33  a34|
     |             |   |             |   |             |
     |a14  a24  a44|   |a24  a34  a44|   |a14  a34  a44|

sustituimos coeficientes

I1 = 1

     |1  0|   |1  0 |   |1  0 |
I2 = |    | + |     | + |     |
     |0  1|   |0  -1|   |0  -1|

     |1  0  0 |
     |        |
I3 = |0  1  0 |
     |        |
     |0  0  -1|

     |1   0   0   -1|
     |              |
     |0   1   0   -1|
I4 = |              |
     |0   0   -1  1 |
     |              |
     |-1  -1  1   2 |

            |1 - lambda      0            0     |
            |                                   |
I(lambda) = |    0       1 - lambda       0     |
            |                                   |
            |    0           0       -1 - lambda|

     |1   -1|   |1   -1|   |-1  1|
K2 = |      | + |      | + |     |
     |-1  2 |   |-1  2 |   |1   2|

     |1   0   -1|   |1   0   -1|   |1   0   -1|
     |          |   |          |   |          |
K3 = |0   1   -1| + |0   -1  1 | + |0   -1  1 |
     |          |   |          |   |          |
     |-1  -1  2 |   |-1  1   2 |   |-1  1   2 |

I1 = 1

I2 = -1

I3 = -1

I4 = -1

                        2
I(lambda) = (1 - lambda) *(-1 - lambda)

K2 = -1

K3 = -4

Como

I3 != 0

entonces por razón de tipos de rectas:

hay que

Составляем характеристическое уравнение для нашей поверхности:

      3                             2
lambda  - I3 + I2*lambda - I1*lambda  = 0

o

          3                  2
1 + lambda  - lambda - lambda  = 0

lambda1 = -1

lambda2 = 1

lambda3 = 1

entonces la forma canónica de la ecuación será

                2                   2                   2   I4
lambda1*\tilde x  + lambda2*\tilde y  + lambda3*\tilde z  + -- = 0
                                                            I3

            2           2           2
1 + \tilde y  + \tilde z  - \tilde x  = 0

        2           2           2
\tilde y    \tilde z    \tilde x
--------- + --------- - --------- = -1
      2           2           2
   /1\         /1\         /1\
   |-|         |-|         |-|
   \1/         \1/         \1/

es la ecuación para el tipo hiperboloide bilateral

  • está reducida a la forma canónica