Solución de desigualdades trigonométricas en línea

Consideremos un ejemplo de solución de la desigualdad trigonométrica en línea en el sitio web Sr. Examen.

Este sitio web da una solución completa de la desigualdad trigonométrica.

Además, para algunas desigualdades hay una solución presentada en el gráfico.

Pues, consideremos un ejemplo:

Se requiere resolver la desigualdad trigonométrica cos(x/4-pi/3) > 1/2 y hallar x con los que se cumple esta desigualdad.

Para eso pasamos a la página

>>desigualdades en línea<<

y pulsamos ¡Resolver la desigualdad!.

Obtenemos la respuesta 8*pi*n < x < 1/3*(24*pi*n+8*pi), donde n pertenece a N.

Y también la siguiente solución detallada:

Se da la desigualdad:

   /x   pi\
cos|- - --| > 1/2
   \4   3 /

Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:

   /x   pi\
cos|- - --| = 1/2
   \4   3 /

Resolvemos:

Tenemos la ecuación

   /x   pi\
cos|- - --| = 1/2
   \4   3 /

es la ecuación trigonométrica más simple

Esta ecuación se reorganiza en

x   pi
- + -- = 2*pi*n + asin(1/2)
4   6

x   pi
- + -- = pi - asin(1/2) + 2*pi*n
4   6

x   pi   pi
- + -- = -- + 2*pi*n
4   6    6

x   pi   5*pi
- + -- = ---- + 2*pi*n
4   6     6

, donde n es cualquier número entero

Transportemos

pi
--
6

al miembro derecho de la ecuación

con el signo opuesto, en total:

x
- = 2*pi*n
4

x   2*pi
- = ---- + 2*pi*n
4    3

Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en

1/4

x1 = 8*pi*n

     8*pi
x2 = ---- + 8*pi*n
      3

x1 = 8*pi*n

     8*pi
x2 = ---- + 8*pi*n
      3

Las raíces dadas

x1 = 8*pi*n

     8*pi
x2 = ---- + 8*pi*n
      3

son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.

Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:

x0 < x1

Consideremos, por ejemplo, el punto

x0 = -1/10 + x1

8*pi*n - 1/10

-1/10 + 8*pi*n

lo sustituimos en la expresión

   /x   pi\
cos|- - --| > 1/2
   \4   3 /

   /-1/10 + 8*pi*n   pi\
cos|-------------- - --| > 1/2
   |       1          1|
   \      4          3 /

   /1    pi         \
cos|-- + -- - 2*pi*n| > 1/2
   \40   3          /

Entonces

x < 8*pi*n

no se cumple

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:

   /                8*pi         \
And|x > 8*pi*n, x < ---- + 8*pi*n|
   \                 3           /

         _____
        /     \
-------ο-------ο-------
       x1      x2