Solución de ecuaciones irracionales en línea
Las ecuaciones irracionales pueden ser de simples a complicadas – y todas ellas pueden ser resueltas en línea con una solución detallada con la ayuda de la calculadora en línea.
Ahora bien:
- Ecuaciones irracionales simples
- Ecuaciones irracionales de complejidad intermedia
- Ecuaciones irracionales complicadas
Ecuaciones irracionales simples
Consideremos que las ecuaciones simples contendrán sólo una parte de irracionalidad. Entonces consideremos un ejemplo:
2*x + sqrt(-x + 3) = 3
Introduzcamos esta ecuación en la forma de la calculadora
Entonces se obtendrá una solución detallada:
Tenemos la ecuación
________
2*x + \/ -x + 3 = 3
_______
\/ 3 - x = 3 - 2*x
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
2
3 - x = (3 - 2*x)
2
3 - x = 9 - 12*x + 4*x
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
2
-6 - 4*x + 11*x = 0
Es la ecuación de la forma
a*x^2 + b*x + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
___
\/ D - b
x1 = ---------
2*a
___
-b - \/ D
x2 = ----------
2*a
donde D = b^2 - 4ac es el discriminante.
Como
a = -4
b = 11
c = -6
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(11)^2 - 4 * (-4) * (-6) = 25
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o
x1 = 3/4
x2 = 2
Como
_______
\/ 3 - x = 3 - 2*x
y
_______
\/ 3 - x >= 0
entonces
3 - 2*x >= 0
o
x <= 3/2
-oo < x
Entonces la respuesta definitiva es:
x1 = 3/4
Ecuaciones irracionales intermedias
Consideremos como intermedias las ecuaciones que contienen dos partes irracionales en la ecuación.
Por ejemplo,
sqrt(4*x + 1) + sqrt(3*x - 2) = 2
hay que introducir en la forma en la calculadora
El resultado será:
Tenemos la ecuación
_________ _________
\/ 4*x + 1 + \/ 3*x - 2 = 2
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
2
/ _________ __________\
\\/ 1 + 4*x + \/ -2 + 3*x / = 4
o
2 _____________________ 2
1 *(3*x - 2) + 2*\/ (3*x - 2)*(4*x + 1) + 1 *(4*x + 1) = 4
o
__________________
/ 2
-1 + 2*\/ -2 - 5*x + 12*x + 7*x = 4
cambiamos:
__________________
/ 2
2*\/ -2 - 5*x + 12*x = 5 - 7*x
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
2 2
-8 - 20*x + 48*x = (5 - 7*x)
2 2
-8 - 20*x + 48*x = 25 - 70*x + 49*x
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
2
-33 - x + 50*x = 0
Es la ecuación de la forma
a*x^2 + b*x + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
___
\/ D - b
x1 = ---------
2*a
___
-b - \/ D
x2 = ----------
2*a
donde D = b^2 - 4ac es el discriminante.
Como
a = -1
b = 50
c = -33
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(50)^2 - 4 * (-1) * (-33) = 2368
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o
____
x1 = 25 - 4*\/ 37
____
x2 = 25 + 4*\/ 37
Como
__________________
/ 2 5 7*x
\/ -2 - 5*x + 12*x = - - ---
2 2
y
__________________
/ 2
\/ -2 - 5*x + 12*x >= 0
entonces
5 7*x
- - --- >= 0
2 2
o
x <= 5/7
-oo < x
____
x1 = 25 - 4*\/ 37
comprobamos:
____
x1 = 25 - 4*\/ 37
__________ ___________
-2 + \/ 1 + 4*x1 + \/ -2 + 3*x1 = 0
=
_______________________ _______________________
/ / ____\ / / ____\
\/ 4*\25 - 4*\/ 37 / + 1 + \/ 3*\25 - 4*\/ 37 / - 2 - 2 = 0
=
0 = 0
- la igualdad
Entonces la respuesta definitiva es:
____
x1 = 25 - 4*\/ 37
Ecuaciones irracionales complicadas
Las más complicadas serán las ecuaciones con tres partes de irracionalidad, es decir, habrá un ejemplo así:
sqrt(x + 5) - sqrt(x - 1) = sqrt(2*x + 4)
En la forma de la calculadora se verá así:
Entonces habrá una explicación detallada
Tenemos la ecuación
_______ _______ _________
\/ x + 5 - \/ x - 1 = \/ 2*x + 4
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
2
/ _______ ________\
\\/ 5 + x - \/ -1 + x / = 4 + 2*x
o
2 _________________ 2
1 *(x + 5) + 2*(-1)*\/ (x + 5)*(x - 1) + (-1) *(x - 1) = 4 + 2*x
o
_______________
/ 2
4 - 2*\/ -5 + x + 4*x + 2*x = 4 + 2*x
cambiamos:
_______________
/ 2
-2*\/ -5 + x + 4*x = 0
cambiamos
2
-5 + x + 4*x = 0
Es la ecuación de la forma
a*x^2 + b*x + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
___
\/ D - b
x1 = ---------
2*a
___
-b - \/ D
x2 = ----------
2*a
donde D = b^2 - 4ac es el discriminante.
Como
a = 1
b = 4
c = -5
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(4)^2 - 4 * (1) * (-5) = 36
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o
x1 = 1
x2 = -5
comprobamos:
x1 = 1
________ _________ __________
\/ 5 + x1 - \/ -1 + x1 - \/ 4 + 2*x1 = 0
=
_______ _______ _______
\/ 1 + 5 - \/ 1 - 1 - \/ 2 + 4 = 0
=
0 = 0
la igualdad
x2 = -5
________ _________ __________ \/ 5 + x2 - \/ -1 + x2 - \/ 4 + 2*x2 = 0
=
________ ________ ____________
\/ -5 + 5 - \/ -5 - 1 - \/ 2*(-5) + 4 = 0
=
-2*i*sqrt(6) = 0
- No
Entonces la respuesta definitiva es:
x1 = 1