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Resolución de ecuaciones cúbicas en línea

Consideremos dos ejemplos de ecuaciones cúbicas que la calculadora de ecuaciones sabe resolver sin problemas con una solución detallada:

  • Ecuaciones cúbicas simples
  • Ecuaciones cúbicas complicadas

Ejemplo de ecuación cúbica simple

El primer ejemplo será simple:

49*x^3 - x = 0

¡Resolver la ecuación!

Después de pulsar "¡Resolver la ecuación!" obtendrá una respuesta con una explicación detallada:

Tenemos la ecuación:

    3
49*x  - x = 0

cambiamos

Saquemos el factor común x fuera de paréntesis

obtendremos:

  /         2\
x*\-1 + 49*x / = 0

entonces:

x1 = 0

y además

obtenemos la ecuación

         2
-1 + 49*x  = 0

Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta

con la ayuda del discriminante.

Las raíces de la ecuación cuadrática:

       ___
     \/ D  - b
x2 = ---------
        2*a


            ___
     -b - \/ D
x3 = ----------
        2*a

donde D = b^2 - 4ac es el discriminante.

Como

a = 49


b = 0


c = -1

, entonces

D = b^2 - 4 * a * c =


(0)^2 - 4 * (49) * (-1) = 196

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)


x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o

x2 = 1/7


x3 = -1/7

Entonces la respuesta definitiva es para 49*x^3 - x = 0:

x1 = 0


x2 = 1/7


x3 = -1/7

El segundo ejemplo simple de la ecuación cúbica será así:

8 = (1/2 + 3*x)^3

¡Resolver la ecuación!

Obtenemos una solución detallada:

Tenemos la ecuación

               3
8 = (1/2 + 3*x)

Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces

la ecuación tendrá una raíz real.

Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:

Obtenemos:

   ______________
3 /            3    3 ___
\/  (3*x + 1/2)   = \/ 8

o

1/2 + 3*x = 2

Transportamos los términos libres (sin x)

del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:

3*x = 3/2

Dividamos ambos miembros de la ecuación en 3

x = 3/2 / (3)

Obtenemos la respuesta: x = 1/2

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.

hacemos el cambio:

z = 1/2 + 3*x

entonces la ecuación será así:

 3
z  = 8

Cualquier número complejo se puede presentar que:

       I*p
z = r*e

sustituimos en la ecuación

 3  3*I*p
r *e      = 8

donde

r = 2
  • módulo del número complejo

Sustituyamos r:

 3*I*p
e      = 1

Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p

I*sin(3*p) + cos(3*p) = 1

es decir

cos(3*p) = 1

y

sin(3*p) = 0

entonces

    2*pi*N
p = ------
      3

donde N=0,1,2,3,...

Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z

Es decir, la solución será para z:

z1 = 2


              ___
z2 = -1 - I*\/ 3


              ___
z3 = -1 + I*\/ 3

hacemos cambio inverso

z = 1/2 + 3*x


      1   z
x = - - + -
      6   3

Entonces la respuesta definitiva es:

x1 = 1/2


               ___
       1   I*\/ 3
x2 = - - - -------
       2      3


               ___
       1   I*\/ 3
x3 = - - + -------
       2      3

Ejemplo de ecuación cúbica complicada

El tercer ejemplo será más complicado – la ecuación cúbica recurrente en línea.

5*x^3 -8*x^2 - 8*x + 5 = 0

Para resolver tal ecuación cúbica recurrente introduzca esta ecuación en la calculadora:

¡Resolver la ecuación!

Tenemos la ecuación:

   3      2
5*x  - 8*x  - 8*x + 5 = 0

cambiamos

   3          2
5*x  + 5 - 8*x  + 8 - 8*x - 8 = 0

o

   3         3      2          2
5*x  - 5*(-1)  - 8*x  - -8*(-1)  - 8*x - -8*(-1) = 0


  / 3       3\     / 2       2\
5*\x  - (-1) / - 8*\x  - (-1) / - 8*(x + 1) = 0


          / 2           2\
5*(x + 1)*\x  - x + (-1) / + -8*(x + 1)*(x - 1) - 8*(x + 1) = 0

Saquemos el factor común 1 + x fuera de paréntesis

obtendremos:

        /  / 2           2\                \
(x + 1)*\5*\x  - x + (-1) / - 8*(x - 1) - 8/ = 0

o

        /              2\
(1 + x)*\5 - 13*x + 5*x / = 0

entonces:

x1 = -1

y además

obtenemos la ecuación

              2
5 - 13*x + 5*x  = 0

Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta

con la ayuda del discriminante.

Las raíces de la ecuación cuadrática:

       ___
     \/ D  - b
x2 = ---------
        2*a


            ___
     -b - \/ D
x3 = ----------
        2*a

donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.

Como

a = 5


b = -13


c = 5

, entonces

D = b^2 - 4 * a * c =


(-13)^2 - 4 * (5) * (5) = 69

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)


x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o

            ____
     13   \/ 69
x2 = -- + ------
     10     10


            ____
     13   \/ 69
x3 = -- - ------
     10     10

Entonces la respuesta definitiva es para 5*x^3 - 8*x^2 - 8*x + 5 = 0:

x1 = -1


            ____
     13   \/ 69
x2 = -- + ------
     10     10


            ____
     13   \/ 69
x3 = -- - ------
     10     10