Resolución de ecuaciones cúbicas en línea
onsideremos dos ejemplos de ecuaciones cúbicas que la calculadora de ecuaciones sabe resolver sin problemas con una solución detallada:
- Ecuaciones cúbicas simples
- Ecuaciones cúbicas complicadas
Ejemplo de ecuación cúbica simple
El primer ejemplo será simple:
49*x^3 - x = 0
Después de pulsar "¡Resolver la ecuación!" obtendrá una respuesta con una explicación detallada:
Tenemos la ecuación:
3
49*x - x = 0
cambiamos
Saquemos el factor común x fuera de paréntesis
obtendremos:
/ 2\
x*\-1 + 49*x / = 0
entonces:
x1 = 0
y además
obtenemos la ecuación
2
-1 + 49*x = 0
Es la ecuación de la forma
a*x^2 + b*x + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
___
\/ D - b
x2 = ---------
2*a
___
-b - \/ D
x3 = ----------
2*a
donde D = b^2 - 4ac es el discriminante.
Como
a = 49
b = 0
c = -1
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(0)^2 - 4 * (49) * (-1) = 196
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o
x2 = 1/7
x3 = -1/7
Entonces la respuesta definitiva es para 49*x^3 - x = 0:
x1 = 0
x2 = 1/7
x3 = -1/7
El segundo ejemplo simple de la ecuación cúbica será así:
8 = (1/2 + 3*x)^3
Obtenemos una solución detallada:
Tenemos la ecuación
3
8 = (1/2 + 3*x)
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
______________
3 / 3 3 ___
\/ (3*x + 1/2) = \/ 8
o
1/2 + 3*x = 2
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
3*x = 3/2
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 3
x = 3/2 / (3)
Obtenemos la respuesta: x = 1/2
Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
z = 1/2 + 3*x
entonces la ecuación será así:
3
z = 8
Cualquier número complejo se puede presentar que:
I*p
z = r*e
sustituimos en la ecuación
3 3*I*p
r *e = 8
donde
r = 2
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
3*I*p
e = 1
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
I*sin(3*p) + cos(3*p) = 1
es decir
cos(3*p) = 1
y
sin(3*p) = 0
entonces
2*pi*N
p = ------
3
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
z1 = 2
___
z2 = -1 - I*\/ 3
___
z3 = -1 + I*\/ 3
hacemos cambio inverso
z = 1/2 + 3*x
1 z
x = - - + -
6 3
Entonces la respuesta definitiva es:
x1 = 1/2
___
1 I*\/ 3
x2 = - - - -------
2 3
___
1 I*\/ 3
x3 = - - + -------
2 3
Ejemplo de ecuación cúbica complicada
El tercer ejemplo será más complicado – la ecuación cúbica recurrente en línea.
5*x^3 -8*x^2 - 8*x + 5 = 0
Para resolver tal ecuación cúbica recurrente introduzca esta ecuación en la calculadora:
Tenemos la ecuación:
3 2
5*x - 8*x - 8*x + 5 = 0
cambiamos
3 2
5*x + 5 - 8*x + 8 - 8*x - 8 = 0
o
3 3 2 2
5*x - 5*(-1) - 8*x - -8*(-1) - 8*x - -8*(-1) = 0
/ 3 3\ / 2 2\
5*\x - (-1) / - 8*\x - (-1) / - 8*(x + 1) = 0
/ 2 2\
5*(x + 1)*\x - x + (-1) / + -8*(x + 1)*(x - 1) - 8*(x + 1) = 0
Saquemos el factor común 1 + x fuera de paréntesis
obtendremos:
/ / 2 2\ \
(x + 1)*\5*\x - x + (-1) / - 8*(x - 1) - 8/ = 0
o
/ 2\
(1 + x)*\5 - 13*x + 5*x / = 0
entonces:
x1 = -1
y además
obtenemos la ecuación
2
5 - 13*x + 5*x = 0
Es la ecuación de la forma
a*x^2 + b*x + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
___
\/ D - b
x2 = ---------
2*a
___
-b - \/ D
x3 = ----------
2*a
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
a = 5
b = -13
c = 5
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(-13)^2 - 4 * (5) * (5) = 69
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o
____
13 \/ 69
x2 = -- + ------
10 10
____
13 \/ 69
x3 = -- - ------
10 10
Entonces la respuesta definitiva es para 5*x^3 - 8*x^2 - 8*x + 5 = 0:
x1 = -1
____
13 \/ 69
x2 = -- + ------
10 10
____
13 \/ 69
x3 = -- - ------
10 10