Ecuaciones diferenciales de 2 orden, homogéneas y lineales paso a paso
Ha introducido
$$11 y{\left(x \right)} - 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 3 \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$Solución detallada
Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y'':$$3$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{11 y{\left(x \right)}}{3} - \frac{2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{3} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = 0,
donde
$$p = - \frac{2}{3}$$
$$q = \frac{11}{3}$$
Se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - \frac{2 k}{3} + \frac{11}{3} = 0$$
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = \frac{1}{3} - \frac{4 \sqrt{2} i}{3}$$
$$k_{2} = \frac{1}{3} + \frac{4 \sqrt{2} i}{3}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(\frac{1}{3} - \frac{4 \sqrt{2} i}{3}\right)} + C_{2} e^{x \left(\frac{1}{3} + \frac{4 \sqrt{2} i}{3}\right)}$$