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Resolución de la ecuación diferencial con reemplazo paso a paso

Ha introducido

$$x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y^{2}{\left(x \right)} = x^{2}$$

>>aquí<<

Solución detallada

Tenemos la ecuación:
$$x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - x^{2} - y^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$- x^{2} u^{2}{\left(x \right)} + x^{2} \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} - x^{2} = 0$$
o
$$x^{3} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - x^{2} u^{2}{\left(x \right)} + x^{2} u{\left(x \right)} - x^{2} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = u^{2}{\left(x \right)} - u{\left(x \right)} + 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$u^{2}{\left(x \right)} - u{\left(x \right)} + 1$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)} - u{\left(x \right)} + 1} = \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)} - u{\left(x \right)} + 1} = \frac{dx}{x}$$
o
$$\frac{du}{u^{2}{\left(x \right)} - u{\left(x \right)} + 1} = \frac{dx}{x}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{u^{2} - u + 1}\, du = \int \frac{1}{x}\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3} u}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{3} = Const + \log{\left(x \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{3} \tan{\left(C_{1} - \frac{\sqrt{3} \log{\left(x \right)}}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = x \left(- \frac{\sqrt{3} \tan{\left(C_{1} - \frac{\sqrt{3} \log{\left(x \right)}}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)$$
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