Sr Examen
Ecuación diferencial (1+y^2)dx=xydy
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 d
1 + y (x) = x*--(y(x))*y(x)
dx
$$y^{2}{\left(x \right)} + 1 = x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
y^2 + 1 = x*y*y'
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y^{2}{\left(x \right)} + 1$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{y^{2}{\left(x \right)} + 1}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{y^{2}{\left(x \right)} + 1}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$- \frac{dy y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{y}{y^{2} + 1}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\log{\left(y^{2} + 1 \right)}}{2} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} x^{2} - 1}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} x^{2} - 1}$$
$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y^{2}{\left(x \right)} + 1$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{y^{2}{\left(x \right)} + 1}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{y^{2}{\left(x \right)} + 1}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$- \frac{dy y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{y}{y^{2} + 1}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\log{\left(y^{2} + 1 \right)}}{2} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} x^{2} - 1}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} x^{2} - 1}$$
Respuesta
[src]
____________
/ 2
y(x) = -\/ -1 + C1*x
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} x^{2} - 1}$$
____________
/ 2
y(x) = \/ -1 + C1*x
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} x^{2} - 1}$$
Clasificación
factorable
separable
1st exact
Bernoulli
almost linear
separable reduced
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Bernoulli Integral
almost linear Integral
separable reduced Integral