Sr Examen
Ecuación diferencial y"-y'+6y=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
d d
- --(y(x)) + 6*y(x) + ---(y(x)) = 0
dx 2
dx
$$6 y{\left(x \right)} - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
6*y - y' + y'' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$6 y{\left(x \right)} - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = -1$$
$$q = 6$$
Se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - k + 6 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{23} i}{2}$$
$$k_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{23} i}{2}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{23} i}{2}\right)} + C_{2} e^{x \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{23} i}{2}\right)}$$
$$6 y{\left(x \right)} - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = 0,
donde
$$p = -1$$
$$q = 6$$
Se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - k + 6 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{23} i}{2}$$
$$k_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{23} i}{2}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{23} i}{2}\right)} + C_{2} e^{x \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{23} i}{2}\right)}$$
Respuesta
[src]
x
/ / ____\ / ____\\ -
| |x*\/ 23 | |x*\/ 23 || 2
y(x) = |C1*sin|--------| + C2*cos|--------||*e
\ \ 2 / \ 2 //
$$y{\left(x \right)} = \left(C_{1} \sin{\left(\frac{\sqrt{23} x}{2} \right)} + C_{2} \cos{\left(\frac{\sqrt{23} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{x}{2}}$$
Clasificación
nth linear constant coeff homogeneous
2nd power series ordinary