Sr Examen

Ecuación diferencial senycosydy=cosxsenxdx

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Para el problema de Cauchy:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

Gráfico:

interior superior

Solución

Ha introducido [src]
d                                           
--(y(x))*cos(y(x))*sin(y(x)) = cos(x)*sin(x)
dx                                          
$$\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$$
sin(y)*cos(y)*y' = sin(x)*cos(x)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}}$$
obtendremos
$$\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx \sin{\left(2 x \right)}$$
o
$$dy \sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)} = dx \sin{\left(2 x \right)}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \sin{\left(2 y \right)}\, dy = \int \sin{\left(2 x \right)}\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\cos{\left(2 y \right)}}{2} = Const - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \pi - \frac{\operatorname{acos}{\left(C_{1} + \cos{\left(2 x \right)} \right)}}{2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{acos}{\left(C_{1} + \cos{\left(2 x \right)} \right)}}{2}$$
Respuesta [src]
            acos(C1 + cos(2*x))
y(x) = pi - -------------------
                     2         
$$y{\left(x \right)} = \pi - \frac{\operatorname{acos}{\left(C_{1} + \cos{\left(2 x \right)} \right)}}{2}$$
       acos(C1 + cos(2*x))
y(x) = -------------------
                2         
$$y{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{acos}{\left(C_{1} + \cos{\left(2 x \right)} \right)}}{2}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
factorable
separable
1st exact
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Respuesta numérica [src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 1.5707963669660918)
(-5.555555555555555, 2.17e-322)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, 2.78363573e-315)
(1.1111111111111107, 8.427456047434801e+197)
(3.333333333333334, 3.1933833808213433e-248)
(5.555555555555557, 1.7159818507571235e+185)
(7.777777777777779, 8.388243566958255e+296)
(10.0, 3.861029683e-315)
(10.0, 3.861029683e-315)