Sr Examen

Ecuación diferencial y"+4y'+7y=0

Para el problema de Cauchy:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

Gráfico:

interior superior

Solución

Ha introducido [src]
                        2          
  d                    d           
4*--(y(x)) + 7*y(x) + ---(y(x)) = 0
  dx                    2          
                      dx           
$$7 y{\left(x \right)} + 4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
7*y + 4*y' + y'' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$7 y{\left(x \right)} + 4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = 0,

donde
$$p = 4$$
$$q = 7$$
Se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0

Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 4 k + 7 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = -2 - \sqrt{3} i$$
$$k_{2} = -2 + \sqrt{3} i$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(-2 - \sqrt{3} i\right)} + C_{2} e^{x \left(-2 + \sqrt{3} i\right)}$$
Respuesta [src]
       /      /    ___\         /    ___\\  -2*x
y(x) = \C1*sin\x*\/ 3 / + C2*cos\x*\/ 3 //*e    
$$y{\left(x \right)} = \left(C_{1} \sin{\left(\sqrt{3} x \right)} + C_{2} \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) e^{- 2 x}$$
Clasificación
nth linear constant coeff homogeneous
2nd power series ordinary
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