Sr Examen
Ecuación diferencial 2xydx+(x^2-1)dy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
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d 2 d - --(y(x)) + x *--(y(x)) + 2*x*y(x) = 0 dx dx
$$x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 2 x y{\left(x \right)} - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
x^2*y' + 2*x*y - y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 2 x y{\left(x \right)} - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{2 x}{x^{2} - 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{2 x}{x^{2} - 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{2 dx x}{x^{2} - 1}$$
o
$$\frac{dy}{y{\left(x \right)}} = - \frac{2 dx x}{x^{2} - 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y}\, dy = \int \left(- \frac{2 x}{x^{2} - 1}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(y \right)} = Const - \log{\left(x^{2} - 1 \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{C_{1}}{x^{2} - 1}$$
$$x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 2 x y{\left(x \right)} - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{2 x}{x^{2} - 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{2 x}{x^{2} - 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{2 dx x}{x^{2} - 1}$$
o
$$\frac{dy}{y{\left(x \right)}} = - \frac{2 dx x}{x^{2} - 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y}\, dy = \int \left(- \frac{2 x}{x^{2} - 1}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(y \right)} = Const - \log{\left(x^{2} - 1 \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{C_{1}}{x^{2} - 1}$$
Clasificación
separable
1st exact
1st linear
Bernoulli
almost linear
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
1st linear Integral
Bernoulli Integral
almost linear Integral