Sr Examen

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Ecuación diferencial yxy'=(4+y^2)^(1/2)

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Para el problema de Cauchy:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

Gráfico:

interior superior

Solución

Ha introducido [src]
                     ___________
  d                 /      2    
x*--(y(x))*y(x) = \/  4 + y (x) 
  dx                            
$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 4}$$
x*y*y' = sqrt(y^2 + 4)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 4}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 4}}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 4}}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 4}} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 4}} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$- \frac{dy y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 4}} = - \frac{dx}{x}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{y}{\sqrt{y^{2} + 4}}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \sqrt{y^{2} + 4} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1}^{2} + 2 C_{1} \log{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)}^{2} - 4}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1}^{2} + 2 C_{1} \log{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)}^{2} - 4}$$
Respuesta [src]
           __________________________________
          /        2      2                  
y(x) = -\/  -4 + C1  + log (x) + 2*C1*log(x) 
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1}^{2} + 2 C_{1} \log{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)}^{2} - 4}$$
          __________________________________
         /        2      2                  
y(x) = \/  -4 + C1  + log (x) + 2*C1*log(x) 
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1}^{2} + 2 C_{1} \log{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)}^{2} - 4}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st exact
separable reduced
lie group
separable Integral
1st exact Integral
separable reduced Integral
Respuesta numérica [src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, -1.4355609511124676e-09)
(-5.555555555555555, 6.9444462069405e-310)
(-3.333333333333333, 6.94444628770954e-310)
(-1.1111111111111107, 6.9444453331779e-310)
(1.1111111111111107, 6.9444453331779e-310)
(3.333333333333334, 6.9444453331779e-310)
(5.555555555555557, 6.94444551328655e-310)
(7.777777777777779, 6.94444628770954e-310)
(10.0, 6.94444628770954e-310)
(10.0, 6.94444628770954e-310)