Sr Examen
Ecuación diferencial sqrt(1-y^2)dx+ysqrt(1-x^2)dy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
___________ ________
/ 2 / 2 d
\/ 1 - y (x) + \/ 1 - x *--(y(x))*y(x) = 0
dx
$$\sqrt{1 - x^{2}} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \sqrt{1 - y^{2}{\left(x \right)}} = 0$$
sqrt(1 - x^2)*y*y' + sqrt(1 - y^2) = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\sqrt{1 - x^{2}} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \sqrt{1 - y^{2}{\left(x \right)}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{\sqrt{1 - y^{2}{\left(x \right)}}}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{\sqrt{1 - y^{2}{\left(x \right)}}}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - y^{2}{\left(x \right)}}} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - y^{2}{\left(x \right)}}} = - \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
o
$$\frac{dy y{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - y^{2}{\left(x \right)}}} = - \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{y}{\sqrt{1 - y^{2}}}\, dy = \int \left(- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \sqrt{1 - y^{2}} = Const - \operatorname{asin}{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{- C_{1}^{2} + 2 C_{1} \operatorname{asin}{\left(x \right)} - \operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)} + 1}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{- C_{1}^{2} + 2 C_{1} \operatorname{asin}{\left(x \right)} - \operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)} + 1}$$
$$\sqrt{1 - x^{2}} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \sqrt{1 - y^{2}{\left(x \right)}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{\sqrt{1 - y^{2}{\left(x \right)}}}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{\sqrt{1 - y^{2}{\left(x \right)}}}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - y^{2}{\left(x \right)}}} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - y^{2}{\left(x \right)}}} = - \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
o
$$\frac{dy y{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - y^{2}{\left(x \right)}}} = - \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{y}{\sqrt{1 - y^{2}}}\, dy = \int \left(- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \sqrt{1 - y^{2}} = Const - \operatorname{asin}{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{- C_{1}^{2} + 2 C_{1} \operatorname{asin}{\left(x \right)} - \operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)} + 1}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{- C_{1}^{2} + 2 C_{1} \operatorname{asin}{\left(x \right)} - \operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)} + 1}$$
Respuesta
[src]
___________________________________
/ 2 2
y(x) = -\/ 1 - C1 - asin (x) + 2*C1*asin(x)
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{- C_{1}^{2} + 2 C_{1} \operatorname{asin}{\left(x \right)} - \operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)} + 1}$$
___________________________________
/ 2 2
y(x) = \/ 1 - C1 - asin (x) + 2*C1*asin(x)
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{- C_{1}^{2} + 2 C_{1} \operatorname{asin}{\left(x \right)} - \operatorname{asin}^{2}{\left(x \right)} + 1}$$
Clasificación
separable
1st power series
lie group
separable Integral