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x^4-(a^2+3)*x^2+3*a^2=0 la ecuación

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v

Solución numérica:

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Solución

Ha introducido [src] 
 4   / 2    \  2      2    
x  - \a  + 3/*x  + 3*a  = 0
3a2+(x4−x2(a2+3))=03 a^{2} + \left(x^{4} - x^{2} \left(a^{2} + 3\right)\right) = 0
Simplificar
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
3a2+(x4−x2(a2+3))=03 a^{2} + \left(x^{4} - x^{2} \left(a^{2} + 3\right)\right) = 0
Sustituimos
v=x2v = x^{2}
entonces la ecuación será así:
3a2+v2+v(−a2−3)=03 a^{2} + v^{2} + v \left(- a^{2} - 3\right) = 0
Abramos la expresión en la ecuación
3a2+v2+v(−a2−3)=03 a^{2} + v^{2} + v \left(- a^{2} - 3\right) = 0
Obtenemos la ecuación cuadrática
−a2v+3a2+v2−3v=0- a^{2} v + 3 a^{2} + v^{2} - 3 v = 0
Es la ecuación de la forma
a*v^2 + b*v + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
v1=D−b2av_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}
v2=−D−b2av_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
a=1a = 1
b=−a2−3b = - a^{2} - 3
c=3a2c = 3 a^{2}
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c = 

(-3 - a^2)^2 - 4 * (1) * (3*a^2) = (-3 - a^2)^2 - 12*a^2

La ecuación tiene dos raíces.
v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
v1=a22+−12a2+(−a2−3)22+32v_{1} = \frac{a^{2}}{2} + \frac{\sqrt{- 12 a^{2} + \left(- a^{2} - 3\right)^{2}}}{2} + \frac{3}{2}
v2=a22−−12a2+(−a2−3)22+32v_{2} = \frac{a^{2}}{2} - \frac{\sqrt{- 12 a^{2} + \left(- a^{2} - 3\right)^{2}}}{2} + \frac{3}{2}
Entonces la respuesta definitiva es:
Como
v=x2v = x^{2}
entonces
x1=v1x_{1} = \sqrt{v_{1}}
x2=−v1x_{2} = - \sqrt{v_{1}}
x3=v2x_{3} = \sqrt{v_{2}}
x4=−v2x_{4} = - \sqrt{v_{2}}
entonces:
x1=x_{1} =
(a22+−12a2+(−a2−3)22+32)121+01=a22+−12a2+(−a2−3)22+32\frac{\left(\frac{a^{2}}{2} + \frac{\sqrt{- 12 a^{2} + \left(- a^{2} - 3\right)^{2}}}{2} + \frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{0}{1} = \sqrt{\frac{a^{2}}{2} + \frac{\sqrt{- 12 a^{2} + \left(- a^{2} - 3\right)^{2}}}{2} + \frac{3}{2}}
x2=x_{2} =
(−1)(a22+−12a2+(−a2−3)22+32)121+01=−a22+−12a2+(−a2−3)22+32\frac{\left(-1\right) \left(\frac{a^{2}}{2} + \frac{\sqrt{- 12 a^{2} + \left(- a^{2} - 3\right)^{2}}}{2} + \frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{0}{1} = - \sqrt{\frac{a^{2}}{2} + \frac{\sqrt{- 12 a^{2} + \left(- a^{2} - 3\right)^{2}}}{2} + \frac{3}{2}}
x3=x_{3} =
(a22−−12a2+(−a2−3)22+32)121+01=a22−−12a2+(−a2−3)22+32\frac{\left(\frac{a^{2}}{2} - \frac{\sqrt{- 12 a^{2} + \left(- a^{2} - 3\right)^{2}}}{2} + \frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{0}{1} = \sqrt{\frac{a^{2}}{2} - \frac{\sqrt{- 12 a^{2} + \left(- a^{2} - 3\right)^{2}}}{2} + \frac{3}{2}}
x4=x_{4} =
(−1)(a22−−12a2+(−a2−3)22+32)121+01=−a22−−12a2+(−a2−3)22+32\frac{\left(-1\right) \left(\frac{a^{2}}{2} - \frac{\sqrt{- 12 a^{2} + \left(- a^{2} - 3\right)^{2}}}{2} + \frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{0}{1} = - \sqrt{\frac{a^{2}}{2} - \frac{\sqrt{- 12 a^{2} + \left(- a^{2} - 3\right)^{2}}}{2} + \frac{3}{2}}
Gráfica
Suma y producto de raíces [src] 
suma
    ___     ___                                     
- \/ 3  + \/ 3  + -re(a) - I*im(a) + I*im(a) + re(a)
((−re⁡(a)−iim⁡(a))+(−3+3))+(re⁡(a)+iim⁡(a))\left(\left(- \operatorname{re}{\left(a\right)} - i \operatorname{im}{\left(a\right)}\right) + \left(- \sqrt{3} + \sqrt{3}\right)\right) + \left(\operatorname{re}{\left(a\right)} + i \operatorname{im}{\left(a\right)}\right) 
=
0
00 
producto
   ___   ___                                     
-\/ 3 *\/ 3 *(-re(a) - I*im(a))*(I*im(a) + re(a))
−33(−re⁡(a)−iim⁡(a))(re⁡(a)+iim⁡(a))- \sqrt{3} \sqrt{3} \left(- \operatorname{re}{\left(a\right)} - i \operatorname{im}{\left(a\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(a\right)} + i \operatorname{im}{\left(a\right)}\right) 
=
                   2
3*(I*im(a) + re(a))
3(re⁡(a)+iim⁡(a))23 \left(\operatorname{re}{\left(a\right)} + i \operatorname{im}{\left(a\right)}\right)^{2} 
3*(i*im(a) + re(a))^2
Respuesta rápida [src] 
        ___
x1 = -\/ 3
x1=−3x_{1} = - \sqrt{3} 
       ___
x2 = \/ 3
x2=3x_{2} = \sqrt{3} 
x3 = -re(a) - I*im(a)
x3=−re⁡(a)−iim⁡(a)x_{3} = - \operatorname{re}{\left(a\right)} - i \operatorname{im}{\left(a\right)} 
x4 = I*im(a) + re(a)
x4=re⁡(a)+iim⁡(a)x_{4} = \operatorname{re}{\left(a\right)} + i \operatorname{im}{\left(a\right)} 
x4 = re(a) + i*im(a)
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