2(sinx)^2-sqrt3sinx=0 la ecuación

Tenemos la ecuación
$$- \sqrt{3 \sin{\left(x \right)}} + 2 \sin^{2}{\left(x \right)} = 0$$
cambiamos
$$- \sqrt{3} \sqrt{\sin{\left(x \right)}} + 2 \sin^{2}{\left(x \right)} = 0$$
$$- \sqrt{3 \sin{\left(x \right)}} + 2 \sin^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Tenemos la ecuación
$$- \sqrt{3} \sqrt{w} + 2 w^{2} = 0$$
Evidentemente:

w0 = 0

luego,
cambiamos
$$w^{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3/2 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2/3:
Obtenemos:
$$\left(w^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{2}{3}} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{\frac{2}{3}}$$
o
$$w = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación

w = 6^1/3/2

Obtenemos la respuesta: w = 6^(1/3)/2

Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = w$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$\left(r e^{i p}\right)^{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
donde
$$r = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{\frac{3 i p}{2}} = 1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(\frac{3 p}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{3 p}{2} \right)} = 1$$
es decir
$$\cos{\left(\frac{3 p}{2} \right)} = 1$$
y
$$\sin{\left(\frac{3 p}{2} \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{4 \pi N}{3}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$$
$$z_{2} = \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[6]{3}}{4} - \frac{6^{\frac{2}{3}} i}{4}\right)^{2}$$
$$z_{3} = \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[6]{3}}{4} + \frac{6^{\frac{2}{3}} i}{4}\right)^{2}$$
hacemos cambio inverso
$$z = w$$
$$w = z$$

Entonces la respuesta definitiva es:

w0 = 0

$$w_{1} = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$$
$$w_{2} = \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[6]{3}}{4} - \frac{6^{\frac{2}{3}} i}{4}\right)^{2}$$
$$w_{3} = \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[6]{3}}{4} + \frac{6^{\frac{2}{3}} i}{4}\right)^{2}$$
hacemos cambio inverso
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
O
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt[3]{6}}{2} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt[3]{6}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt[3]{6}}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt[3]{6}}{2} \right)} + \pi$$