Sr Examen
9^x+14*3^x-51=0 la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\left(14 \cdot 3^{x} + 9^{x}\right) - 51 = 0$$
o
$$\left(14 \cdot 3^{x} + 9^{x}\right) - 51 = 0$$
Sustituimos
$$v = 3^{x}$$
obtendremos
$$v^{2} + 14 v - 51 = 0$$
o
$$v^{2} + 14 v - 51 = 0$$
Es la ecuación de la forma
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 14$$
$$c = -51$$
, entonces
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
o
$$v_{1} = 3$$
$$v_{2} = -17$$
hacemos cambio inverso
$$3^{x} = v$$
o
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$$
Entonces la respuesta definitiva es
$$x_{1} = \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} = 1$$
$$x_{2} = \frac{\log{\left(-17 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} = \frac{\log{\left(17 \right)} + i \pi}{\log{\left(3 \right)}}$$
$$\left(14 \cdot 3^{x} + 9^{x}\right) - 51 = 0$$
o
$$\left(14 \cdot 3^{x} + 9^{x}\right) - 51 = 0$$
Sustituimos
$$v = 3^{x}$$
obtendremos
$$v^{2} + 14 v - 51 = 0$$
o
$$v^{2} + 14 v - 51 = 0$$
Es la ecuación de la forma
a*v^2 + b*v + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 14$$
$$c = -51$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(14)^2 - 4 * (1) * (-51) = 400
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o
$$v_{1} = 3$$
$$v_{2} = -17$$
hacemos cambio inverso
$$3^{x} = v$$
o
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$$
Entonces la respuesta definitiva es
$$x_{1} = \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} = 1$$
$$x_{2} = \frac{\log{\left(-17 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} = \frac{\log{\left(17 \right)} + i \pi}{\log{\left(3 \right)}}$$
Suma y producto de raíces
[src]
suma
log(17) pi*I
1 + ------- + ------
log(3) log(3)
$$1 + \left(\frac{\log{\left(17 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(3 \right)}}\right)$$
=
log(17) pi*I
1 + ------- + ------
log(3) log(3)
$$1 + \frac{\log{\left(17 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(3 \right)}}$$
producto
log(17) pi*I ------- + ------ log(3) log(3)
$$\frac{\log{\left(17 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(3 \right)}}$$
=
pi*I + log(17)
--------------
log(3)
$$\frac{\log{\left(17 \right)} + i \pi}{\log{\left(3 \right)}}$$
(pi*i + log(17))/log(3)
Respuesta rápida
[src]
x1 = 1
$$x_{1} = 1$$
log(17) pi*I
x2 = ------- + ------
log(3) log(3)
$$x_{2} = \frac{\log{\left(17 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(3 \right)}}$$
x2 = log(17)/log(3) + i*pi/log(3)
Respuesta numérica
[src]
x1 = 1.0
x2 = 2.57890192316257 + 2.85960086738013*i
x2 = 2.57890192316257 + 2.85960086738013*i