Sr Examen
Otras calculadoras
-
¿Cómo usar?
- La ecuación:
-
Ecuación x+9=0
-
Ecuación 3*x^2=27
-
Ecuación (x-2)/(x+2)=(x+3)/(x-4)
-
Ecuación x^2-4=0
- Expresar {x} en función de y en la ecuación:
- -6*x+11*y=-5
- -15*x+7*y=1
- -11*x-11*y=4
- -14*x+4*y=-16
-
Expresiones idénticas
- z^ tres +((sqrt3)/ cuatro -(uno *j)/ cuatro)= cero
- z al cubo más (( raíz cuadrada de 3) dividir por 4 menos (1 multiplicar por j) dividir por 4) es igual a 0
- z en el grado tres más (( raíz cuadrada de 3) dividir por cuatro menos (uno multiplicar por j) dividir por cuatro) es igual a cero
- z^3+((√3)/4-(1*j)/4)=0
- z3+((sqrt3)/4-(1*j)/4)=0
- z3+sqrt3/4-1*j/4=0
- z³+((sqrt3)/4-(1*j)/4)=0
- z en el grado 3+((sqrt3)/4-(1*j)/4)=0
- z^3+((sqrt3)/4-(1j)/4)=0
- z3+((sqrt3)/4-(1j)/4)=0
- z3+sqrt3/4-1j/4=0
- z^3+sqrt3/4-1j/4=0
- z^3+((sqrt3)/4-(1*j)/4)=O
- z^3+((sqrt3) dividir por 4-(1*j) dividir por 4)=0
-
Expresiones semejantes
- z^3+((sqrt3)/4+(1*j)/4)=0
- z^3-((sqrt3)/4-(1*j)/4)=0
z^3+((sqrt3)/4-(1*j)/4)=0 la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
[src]
___
3 \/ 3 I
z + ----- - - = 0
4 4
$$z^{3} + \left(\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{i}{4}\right) = 0$$
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$z^{3} + \left(\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{i}{4}\right) = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{- \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{i}{4}}$$
o
$$z = \sqrt[3]{- \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{i}{4}}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
Obtenemos la respuesta: z = (-2*sqrt(3) + 2*i)^(1/3)/2
Las demás 3 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$w = z$$
entonces la ecuación será así:
$$w^{3} = - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{i}{4}$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$w = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{i}{4}$$
donde
$$r = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = \frac{1}{2}$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{18}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
$$w_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2}$$
$$w_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4}$$
$$w_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4}$$
hacemos cambio inverso
$$w = z$$
$$z = w$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$z_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4}$$
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4}$$
$$z^{3} + \left(\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{i}{4}\right) = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{- \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{i}{4}}$$
o
$$z = \sqrt[3]{- \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{i}{4}}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
z = -sqrt/4+3/4 + i/4)^1/3
Obtenemos la respuesta: z = (-2*sqrt(3) + 2*i)^(1/3)/2
Las demás 3 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$w = z$$
entonces la ecuación será así:
$$w^{3} = - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{i}{4}$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$w = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{i}{4}$$
donde
$$r = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = \frac{1}{2}$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{18}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
$$w_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2}$$
$$w_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4}$$
$$w_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4}$$
hacemos cambio inverso
$$w = z$$
$$z = w$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$z_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4}$$
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4}$$
Teorema de Cardano-Vieta
es ecuación cúbica reducida
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{i}{4}$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{i}{4}$$
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{i}{4}$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{i}{4}$$
Gráfica
Respuesta rápida
[src]
2/3 /5*pi\ 2/3 /5*pi\
2 *cos|----| I*2 *sin|----|
\ 18 / \ 18 /
z1 = -------------- + ----------------
2 2
$$z_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2}$$
/ 2/3 /5*pi\ 2/3 ___ /5*pi\\ 2/3 /5*pi\ 2/3 ___ /5*pi\
| 2 *sin|----| 2 *\/ 3 *cos|----|| 2 *cos|----| 2 *\/ 3 *sin|----|
| \ 18 / \ 18 /| \ 18 / \ 18 /
z2 = I*|- -------------- - --------------------| - -------------- + --------------------
\ 4 4 / 4 4
$$z_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4}\right)$$
/ 2/3 /5*pi\ 2/3 ___ /5*pi\\ 2/3 /5*pi\ 2/3 ___ /5*pi\
| 2 *sin|----| 2 *\/ 3 *cos|----|| 2 *cos|----| 2 *\/ 3 *sin|----|
| \ 18 / \ 18 /| \ 18 / \ 18 /
z3 = I*|- -------------- + --------------------| - -------------- - --------------------
\ 4 4 / 4 4
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4}\right)$$
z3 = -2^(2/3)*sqrt(3)*sin(5*pi/18)/4 - 2^(2/3)*cos(5*pi/18)/4 + i*(-2^(2/3)*sin(5*pi/18)/4 + 2^(2/3)*sqrt(3)*cos(5*pi/18)/4)
Suma y producto de raíces
[src]
suma
2/3 /5*pi\ 2/3 /5*pi\ / 2/3 /5*pi\ 2/3 ___ /5*pi\\ 2/3 /5*pi\ 2/3 ___ /5*pi\ / 2/3 /5*pi\ 2/3 ___ /5*pi\\ 2/3 /5*pi\ 2/3 ___ /5*pi\
2 *cos|----| I*2 *sin|----| | 2 *sin|----| 2 *\/ 3 *cos|----|| 2 *cos|----| 2 *\/ 3 *sin|----| | 2 *sin|----| 2 *\/ 3 *cos|----|| 2 *cos|----| 2 *\/ 3 *sin|----|
\ 18 / \ 18 / | \ 18 / \ 18 /| \ 18 / \ 18 / | \ 18 / \ 18 /| \ 18 / \ 18 /
-------------- + ---------------- + I*|- -------------- - --------------------| - -------------- + -------------------- + I*|- -------------- + --------------------| - -------------- - --------------------
2 2 \ 4 4 / 4 4 \ 4 4 / 4 4
$$\left(\left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4}\right)\right) + \left(\frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2}\right)\right) + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4}\right)\right)$$
=
/ 2/3 /5*pi\ 2/3 ___ /5*pi\\ / 2/3 /5*pi\ 2/3 ___ /5*pi\\ 2/3 /5*pi\ | 2 *sin|----| 2 *\/ 3 *cos|----|| | 2 *sin|----| 2 *\/ 3 *cos|----|| I*2 *sin|----| | \ 18 / \ 18 /| | \ 18 / \ 18 /| \ 18 / I*|- -------------- - --------------------| + I*|- -------------- + --------------------| + ---------------- \ 4 4 / \ 4 4 / 2
$$i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4}\right) + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4}\right) + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2}$$
producto
/ 2/3 /5*pi\ 2/3 /5*pi\\ / / 2/3 /5*pi\ 2/3 ___ /5*pi\\ 2/3 /5*pi\ 2/3 ___ /5*pi\\ / / 2/3 /5*pi\ 2/3 ___ /5*pi\\ 2/3 /5*pi\ 2/3 ___ /5*pi\\ |2 *cos|----| I*2 *sin|----|| | | 2 *sin|----| 2 *\/ 3 *cos|----|| 2 *cos|----| 2 *\/ 3 *sin|----|| | | 2 *sin|----| 2 *\/ 3 *cos|----|| 2 *cos|----| 2 *\/ 3 *sin|----|| | \ 18 / \ 18 /| | | \ 18 / \ 18 /| \ 18 / \ 18 /| | | \ 18 / \ 18 /| \ 18 / \ 18 /| |-------------- + ----------------|*|I*|- -------------- - --------------------| - -------------- + --------------------|*|I*|- -------------- + --------------------| - -------------- - --------------------| \ 2 2 / \ \ 4 4 / 4 4 / \ \ 4 4 / 4 4 /
$$\left(\frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2}\right) \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4}\right)\right) \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4}\right)\right)$$
=
3/5*pi\ 2/5*pi\ /5*pi\ 3/5*pi\ / /2*pi\\
cos |----| 3*sin |----|*cos|----| I*sin |----| 3*I*|1 + 2*cos|----||
\ 18 / \ 18 / \ 18 / \ 18 / \ \ 9 //
---------- - ---------------------- - ------------ + ---------------------
2 2 2 16
$$- \frac{3 \sin^{2}{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\cos^{3}{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} - \frac{i \sin^{3}{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{3 i \left(1 + 2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}\right)}{16}$$
cos(5*pi/18)^3/2 - 3*sin(5*pi/18)^2*cos(5*pi/18)/2 - i*sin(5*pi/18)^3/2 + 3*i*(1 + 2*cos(2*pi/9))/16
Respuesta numérica
[src]
z1 = -0.781642431559009 + 0.137824649950423*i
z2 = 0.27146156765474 - 0.745834527381153*i
z3 = 0.510180863904268 + 0.60800987743073*i
z3 = 0.510180863904268 + 0.60800987743073*i