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z^3+((sqrt3)/4-(1*j)/4)=0 la ecuación

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v

Solución numérica:

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Solución

Ha introducido [src] 
       ___        
 3   \/ 3    I    
z  + ----- - - = 0
       4     4
z3+(34−i4)=0z^{3} + \left(\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{i}{4}\right) = 0
Simplificar
Solución detallada
Tenemos la ecuación
z3+(34−i4)=0z^{3} + \left(\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{i}{4}\right) = 0
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
z33=−34+i43\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{- \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{i}{4}}
o
z=−34+i43z = \sqrt[3]{- \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{i}{4}}
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
z = -sqrt/4+3/4 + i/4)^1/3

Obtenemos la respuesta: z = (-2*sqrt(3) + 2*i)^(1/3)/2

Las demás 3 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
w=zw = z
entonces la ecuación será así:
w3=−34+i4w^{3} = - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{i}{4}
Cualquier número complejo se puede presentar que:
w=reipw = r e^{i p}
sustituimos en la ecuación
r3e3ip=−34+i4r^{3} e^{3 i p} = - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{i}{4}
donde
r=2232r = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2}
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
e3ip=−32+i2e^{3 i p} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
isin⁡(3p)+cos⁡(3p)=−32+i2i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}
es decir
cos⁡(3p)=−32\cos{\left(3 p \right)} = - \frac{\sqrt{3}}{2}
y
sin⁡(3p)=12\sin{\left(3 p \right)} = \frac{1}{2}
entonces
p=2πN3−π18p = \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{18}
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
w1=223cos⁡(5π18)2+223isin⁡(5π18)2w_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2}
w2=−223cos⁡(5π18)4+2233sin⁡(5π18)4−2233icos⁡(5π18)4−223isin⁡(5π18)4w_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4}
w3=−2233sin⁡(5π18)4−223cos⁡(5π18)4−223isin⁡(5π18)4+2233icos⁡(5π18)4w_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4}
hacemos cambio inverso
w=zw = z
z=wz = w

Entonces la respuesta definitiva es:
z1=223cos⁡(5π18)2+223isin⁡(5π18)2z_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2}
z2=−223cos⁡(5π18)4+2233sin⁡(5π18)4−2233icos⁡(5π18)4−223isin⁡(5π18)4z_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4}
z3=−2233sin⁡(5π18)4−223cos⁡(5π18)4−223isin⁡(5π18)4+2233icos⁡(5π18)4z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4}
Teorema de Cardano-Vieta
es ecuación cúbica reducida
pz2+qz+v+z3=0p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0
donde
p=bap = \frac{b}{a}
p=0p = 0
q=caq = \frac{c}{a}
q=0q = 0
v=dav = \frac{d}{a}
v=34−i4v = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{i}{4}
Fórmulas de Cardano-Vieta
z1+z2+z3=−pz_{1} + z_{2} + z_{3} = - p
z1z2+z1z3+z2z3=qz_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q
z1z2z3=vz_{1} z_{2} z_{3} = v
z1+z2+z3=0z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0
z1z2+z1z3+z2z3=0z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0
z1z2z3=34−i4z_{1} z_{2} z_{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{i}{4}
Gráfica
Respuesta rápida [src] 
      2/3    /5*pi\      2/3    /5*pi\
     2   *cos|----|   I*2   *sin|----|
             \ 18 /             \ 18 /
z1 = -------------- + ----------------
           2                 2
z1=223cos⁡(5π18)2+223isin⁡(5π18)2z_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} 
       /   2/3    /5*pi\    2/3   ___    /5*pi\\    2/3    /5*pi\    2/3   ___    /5*pi\
       |  2   *sin|----|   2   *\/ 3 *cos|----||   2   *cos|----|   2   *\/ 3 *sin|----|
       |          \ 18 /                 \ 18 /|           \ 18 /                 \ 18 /
z2 = I*|- -------------- - --------------------| - -------------- + --------------------
       \        4                   4          /         4                   4
z2=−223cos⁡(5π18)4+2233sin⁡(5π18)4+i(−2233cos⁡(5π18)4−223sin⁡(5π18)4)z_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4}\right) 
       /   2/3    /5*pi\    2/3   ___    /5*pi\\    2/3    /5*pi\    2/3   ___    /5*pi\
       |  2   *sin|----|   2   *\/ 3 *cos|----||   2   *cos|----|   2   *\/ 3 *sin|----|
       |          \ 18 /                 \ 18 /|           \ 18 /                 \ 18 /
z3 = I*|- -------------- + --------------------| - -------------- - --------------------
       \        4                   4          /         4                   4
z3=−2233sin⁡(5π18)4−223cos⁡(5π18)4+i(−223sin⁡(5π18)4+2233cos⁡(5π18)4)z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4}\right) 
z3 = -2^(2/3)*sqrt(3)*sin(5*pi/18)/4 - 2^(2/3)*cos(5*pi/18)/4 + i*(-2^(2/3)*sin(5*pi/18)/4 + 2^(2/3)*sqrt(3)*cos(5*pi/18)/4)
Suma y producto de raíces [src] 
suma
 2/3    /5*pi\      2/3    /5*pi\     /   2/3    /5*pi\    2/3   ___    /5*pi\\    2/3    /5*pi\    2/3   ___    /5*pi\     /   2/3    /5*pi\    2/3   ___    /5*pi\\    2/3    /5*pi\    2/3   ___    /5*pi\
2   *cos|----|   I*2   *sin|----|     |  2   *sin|----|   2   *\/ 3 *cos|----||   2   *cos|----|   2   *\/ 3 *sin|----|     |  2   *sin|----|   2   *\/ 3 *cos|----||   2   *cos|----|   2   *\/ 3 *sin|----|
        \ 18 /             \ 18 /     |          \ 18 /                 \ 18 /|           \ 18 /                 \ 18 /     |          \ 18 /                 \ 18 /|           \ 18 /                 \ 18 /
-------------- + ---------------- + I*|- -------------- - --------------------| - -------------- + -------------------- + I*|- -------------- + --------------------| - -------------- - --------------------
      2                 2             \        4                   4          /         4                   4               \        4                   4          /         4                   4
((−223cos⁡(5π18)4+2233sin⁡(5π18)4+i(−2233cos⁡(5π18)4−223sin⁡(5π18)4))+(223cos⁡(5π18)2+223isin⁡(5π18)2))+(−2233sin⁡(5π18)4−223cos⁡(5π18)4+i(−223sin⁡(5π18)4+2233cos⁡(5π18)4))\left(\left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4}\right)\right) + \left(\frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2}\right)\right) + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4}\right)\right) 
=
  /   2/3    /5*pi\    2/3   ___    /5*pi\\     /   2/3    /5*pi\    2/3   ___    /5*pi\\      2/3    /5*pi\
  |  2   *sin|----|   2   *\/ 3 *cos|----||     |  2   *sin|----|   2   *\/ 3 *cos|----||   I*2   *sin|----|
  |          \ 18 /                 \ 18 /|     |          \ 18 /                 \ 18 /|             \ 18 /
I*|- -------------- - --------------------| + I*|- -------------- + --------------------| + ----------------
  \        4                   4          /     \        4                   4          /          2
i(−2233cos⁡(5π18)4−223sin⁡(5π18)4)+i(−223sin⁡(5π18)4+2233cos⁡(5π18)4)+223isin⁡(5π18)2i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4}\right) + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4}\right) + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} 
producto
/ 2/3    /5*pi\      2/3    /5*pi\\ /  /   2/3    /5*pi\    2/3   ___    /5*pi\\    2/3    /5*pi\    2/3   ___    /5*pi\\ /  /   2/3    /5*pi\    2/3   ___    /5*pi\\    2/3    /5*pi\    2/3   ___    /5*pi\\
|2   *cos|----|   I*2   *sin|----|| |  |  2   *sin|----|   2   *\/ 3 *cos|----||   2   *cos|----|   2   *\/ 3 *sin|----|| |  |  2   *sin|----|   2   *\/ 3 *cos|----||   2   *cos|----|   2   *\/ 3 *sin|----||
|        \ 18 /             \ 18 /| |  |          \ 18 /                 \ 18 /|           \ 18 /                 \ 18 /| |  |          \ 18 /                 \ 18 /|           \ 18 /                 \ 18 /|
|-------------- + ----------------|*|I*|- -------------- - --------------------| - -------------- + --------------------|*|I*|- -------------- + --------------------| - -------------- - --------------------|
\      2                 2        / \  \        4                   4          /         4                   4          / \  \        4                   4          /         4                   4          /
(223cos⁡(5π18)2+223isin⁡(5π18)2)(−223cos⁡(5π18)4+2233sin⁡(5π18)4+i(−2233cos⁡(5π18)4−223sin⁡(5π18)4))(−2233sin⁡(5π18)4−223cos⁡(5π18)4+i(−223sin⁡(5π18)4+2233cos⁡(5π18)4))\left(\frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2}\right) \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4}\right)\right) \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{4}\right)\right) 
=
   3/5*pi\        2/5*pi\    /5*pi\        3/5*pi\       /         /2*pi\\
cos |----|   3*sin |----|*cos|----|   I*sin |----|   3*I*|1 + 2*cos|----||
    \ 18 /         \ 18 /    \ 18 /         \ 18 /       \         \ 9  //
---------- - ---------------------- - ------------ + ---------------------
    2                  2                   2                   16
−3sin⁡2(5π18)cos⁡(5π18)2+cos⁡3(5π18)2−isin⁡3(5π18)2+3i(1+2cos⁡(2π9))16- \frac{3 \sin^{2}{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\cos^{3}{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} - \frac{i \sin^{3}{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{3 i \left(1 + 2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}\right)}{16} 
cos(5*pi/18)^3/2 - 3*sin(5*pi/18)^2*cos(5*pi/18)/2 - i*sin(5*pi/18)^3/2 + 3*i*(1 + 2*cos(2*pi/9))/16
Respuesta numérica [src] 
z1 = -0.781642431559009 + 0.137824649950423*i
z2 = 0.27146156765474 - 0.745834527381153*i
z3 = 0.510180863904268 + 0.60800987743073*i
z3 = 0.510180863904268 + 0.60800987743073*i
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