Sr Examen

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(x-3)^4-(x-3)^2-10=0 la ecuación

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Solución numérica:

Buscar la solución numérica en el intervalo [, ]

Solución

Ha introducido [src] 
       4          2         
(x - 3)  - (x - 3)  - 10 = 0
((x−3)4−(x−3)2)−10=0\left(\left(x - 3\right)^{4} - \left(x - 3\right)^{2}\right) - 10 = 0
Simplificar
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
((x−3)4−(x−3)2)−10=0\left(\left(x - 3\right)^{4} - \left(x - 3\right)^{2}\right) - 10 = 0
Sustituimos
v=(x−3)2v = \left(x - 3\right)^{2}
entonces la ecuación será así:
v2−v−10=0v^{2} - v - 10 = 0
Es la ecuación de la forma
a*v^2 + b*v + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
v1=D−b2av_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}
v2=−D−b2av_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
a=1a = 1
b=−1b = -1
c=−10c = -10
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (1) * (-10) = 41

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
v1=12+412v_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{41}}{2}
v2=12−412v_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{41}}{2}
Entonces la respuesta definitiva es:
Como
v=(x−3)2v = \left(x - 3\right)^{2}
entonces
x1=v1+3x_{1} = \sqrt{v_{1}} + 3
x2=3−v1x_{2} = 3 - \sqrt{v_{1}}
x3=v2+3x_{3} = \sqrt{v_{2}} + 3
x4=3−v2x_{4} = 3 - \sqrt{v_{2}}
entonces:
x1=x_{1} =
(12+412)121+31=12+412+3\frac{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{41}}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{3}{1} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{41}}{2}} + 3
x2=x_{2} =
(−1)(12+412)121+31=3−12+412\frac{\left(-1\right) \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{41}}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{3}{1} = 3 - \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{41}}{2}}
x3=x_{3} =
31+(12−412)121=3+12−412\frac{3}{1} + \frac{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{41}}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = 3 + \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{41}}{2}}
x4=x_{4} =
31+(−1)(12−412)121=3−12−412\frac{3}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{41}}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = 3 - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{41}}{2}}
Gráfica
24681012141618202240000-20000
Trazar el gráfico f1(x)
Trazar el gráfico f2(x)
Suma y producto de raíces [src] 
suma
             ____________                ____________                  _____________                  _____________
      ___   /       ____          ___   /       ____            ___   /        ____            ___   /        ____ 
    \/ 2 *\/  1 + \/ 41         \/ 2 *\/  1 + \/ 41         I*\/ 2 *\/  -1 + \/ 41         I*\/ 2 *\/  -1 + \/ 41  
3 - --------------------- + 3 + --------------------- + 3 - ------------------------ + 3 + ------------------------
              2                           2                            2                              2
(((−21+412+3)+(21+412+3))+(3−2i−1+412))+(3+2i−1+412)\left(\left(\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{41}}}{2} + 3\right) + \left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{41}}}{2} + 3\right)\right) + \left(3 - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{-1 + \sqrt{41}}}{2}\right)\right) + \left(3 + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{-1 + \sqrt{41}}}{2}\right) 
=
12
1212 
producto
/             ____________\ /             ____________\ /               _____________\ /               _____________\
|      ___   /       ____ | |      ___   /       ____ | |        ___   /        ____ | |        ___   /        ____ |
|    \/ 2 *\/  1 + \/ 41  | |    \/ 2 *\/  1 + \/ 41  | |    I*\/ 2 *\/  -1 + \/ 41  | |    I*\/ 2 *\/  -1 + \/ 41  |
|3 - ---------------------|*|3 + ---------------------|*|3 - ------------------------|*|3 + ------------------------|
\              2          / \              2          / \               2            / \               2            /
(−21+412+3)(21+412+3)(3−2i−1+412)(3+2i−1+412)\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{41}}}{2} + 3\right) \left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{41}}}{2} + 3\right) \left(3 - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{-1 + \sqrt{41}}}{2}\right) \left(3 + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{-1 + \sqrt{41}}}{2}\right) 
=
62
6262 
62
Respuesta rápida [src] 
                  ____________
           ___   /       ____ 
         \/ 2 *\/  1 + \/ 41  
x1 = 3 - ---------------------
                   2
x1=−21+412+3x_{1} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{41}}}{2} + 3 
                  ____________
           ___   /       ____ 
         \/ 2 *\/  1 + \/ 41  
x2 = 3 + ---------------------
                   2
x2=21+412+3x_{2} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{41}}}{2} + 3 
                    _____________
             ___   /        ____ 
         I*\/ 2 *\/  -1 + \/ 41  
x3 = 3 - ------------------------
                    2
x3=3−2i−1+412x_{3} = 3 - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{-1 + \sqrt{41}}}{2} 
                    _____________
             ___   /        ____ 
         I*\/ 2 *\/  -1 + \/ 41  
x4 = 3 + ------------------------
                    2
x4=3+2i−1+412x_{4} = 3 + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{-1 + \sqrt{41}}}{2} 
x4 = 3 + sqrt(2)*i*sqrt(-1 + sqrt(41))/2
Respuesta numérica [src] 
x1 = 1.07605558325704
x2 = 3.0 - 1.6436429413703*i
x3 = 3.0 + 1.6436429413703*i
x4 = 4.92394441674296
x4 = 4.92394441674296
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