Tenemos la ecuación:
$$\frac{2 x - 1}{x + 3} + \frac{3 x + 2}{x - 1} = 8$$
Multipliquemos las dos partes de la ecuación por los denominadores:
-1 + x y 3 + x
obtendremos:
$$\left(x - 1\right) \left(\frac{2 x - 1}{x + 3} + \frac{3 x + 2}{x - 1}\right) = 8 x - 8$$
$$\frac{5 x^{2} + 8 x + 7}{x + 3} = 8 x - 8$$
$$\frac{5 x^{2} + 8 x + 7}{x + 3} \left(x + 3\right) = \left(x + 3\right) \left(8 x - 8\right)$$
$$5 x^{2} + 8 x + 7 = 8 x^{2} + 16 x - 24$$
Transportemos el miembro derecho de la ecuación al
miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo.
La ecuación se convierte de
$$5 x^{2} + 8 x + 7 = 8 x^{2} + 16 x - 24$$
en
$$- 3 x^{2} - 8 x + 31 = 0$$
Es la ecuación de la forma
a*x^2 + b*x + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -3$$
$$b = -8$$
$$c = 31$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(-8)^2 - 4 * (-3) * (31) = 436
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{109}}{3} - \frac{4}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{4}{3} + \frac{\sqrt{109}}{3}$$