4√(x-15)=4-4√(97-x) la ecuación

Tenemos la ecuación
$$4 \sqrt{x - 15} = 4 - 4 \sqrt{97 - x}$$
cambiamos:
$$4 \sqrt{97 - x} + 4 \sqrt{x - 15} = 4$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$\left(4 \sqrt{97 - x} + 4 \sqrt{x - 15}\right)^{2} = 16$$
o
$$4^{2} \left(97 - x\right) + \left(4 \cdot 2 \cdot 4 \sqrt{\left(97 - x\right) \left(x - 15\right)} + 4^{2} \left(x - 15\right)\right) = 16$$
o
$$32 \sqrt{- x^{2} + 112 x - 1455} + 1312 = 16$$
cambiamos:
$$32 \sqrt{- x^{2} + 112 x - 1455} = -1296$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$- 1024 x^{2} + 114688 x - 1489920 = 1679616$$
$$- 1024 x^{2} + 114688 x - 1489920 = 1679616$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- 1024 x^{2} + 114688 x - 3169536 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1024$$
$$b = 114688$$
$$c = -3169536$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(114688)^2 - 4 * (-1024) * (-3169536) = 170917888

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 56 - \frac{\sqrt{163}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{163}}{2} + 56$$

Como
$$\sqrt{- x^{2} + 112 x - 1455} = - \frac{81}{2}$$
y
$$\sqrt{- x^{2} + 112 x - 1455} \geq 0$$
entonces
$$- \frac{81}{2} \geq 0$$
Entonces la respuesta definitiva es:
Esta ecuación no tiene soluciones