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x^3+8=0

x^3+8=0 la ecuación

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v

Solución numérica:

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Solución

Ha introducido [src] 
 3        
x  + 8 = 0
x3+8=0x^{3} + 8 = 0
Simplificar
Solución detallada
Tenemos la ecuación
x3+8=0x^{3} + 8 = 0
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
x33=−83\sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{-8}
o
x=2−13x = 2 \sqrt[3]{-1}
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
x = -2*1^1/3

Obtenemos la respuesta: x = 2*(-1)^(1/3)

Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
z=xz = x
entonces la ecuación será así:
z3=−8z^{3} = -8
Cualquier número complejo se puede presentar que:
z=reipz = r e^{i p}
sustituimos en la ecuación
r3e3ip=−8r^{3} e^{3 i p} = -8
donde
r=2r = 2
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
e3ip=−1e^{3 i p} = -1
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
isin⁡(3p)+cos⁡(3p)=−1i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1
es decir
cos⁡(3p)=−1\cos{\left(3 p \right)} = -1
y
sin⁡(3p)=0\sin{\left(3 p \right)} = 0
entonces
p=2πN3+π3p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
z1=−2z_{1} = -2
z2=1−3iz_{2} = 1 - \sqrt{3} i
z3=1+3iz_{3} = 1 + \sqrt{3} i
hacemos cambio inverso
z=xz = x
x=zx = z

Entonces la respuesta definitiva es:
x1=−2x_{1} = -2
x2=1−3ix_{2} = 1 - \sqrt{3} i
x3=1+3ix_{3} = 1 + \sqrt{3} i
Teorema de Cardano-Vieta
es ecuación cúbica reducida
px2+qx+v+x3=0p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0
donde
p=bap = \frac{b}{a}
p=0p = 0
q=caq = \frac{c}{a}
q=0q = 0
v=dav = \frac{d}{a}
v=8v = 8
Fórmulas de Cardano-Vieta
x1+x2+x3=−px_{1} + x_{2} + x_{3} = - p
x1x2+x1x3+x2x3=qx_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q
x1x2x3=vx_{1} x_{2} x_{3} = v
x1+x2+x3=0x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0
x1x2+x1x3+x2x3=0x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0
x1x2x3=8x_{1} x_{2} x_{3} = 8
Gráfica
-17.5-15.0-12.5-10.0-7.5-5.0-2.50.02.55.07.510.0-25002500
Trazar el gráfico f1(x)
Trazar el gráfico f2(x)
Suma y producto de raíces [src] 
suma
             ___           ___
-2 + 1 - I*\/ 3  + 1 + I*\/ 3
(−2+(1−3i))+(1+3i)\left(-2 + \left(1 - \sqrt{3} i\right)\right) + \left(1 + \sqrt{3} i\right) 
=
0
00 
producto
   /        ___\ /        ___\
-2*\1 - I*\/ 3 /*\1 + I*\/ 3 /
−2(1−3i)(1+3i)- 2 \left(1 - \sqrt{3} i\right) \left(1 + \sqrt{3} i\right) 
=
-8
−8-8 
-8
Respuesta rápida [src] 
x1 = -2
x1=−2x_{1} = -2 
             ___
x2 = 1 - I*\/ 3
x2=1−3ix_{2} = 1 - \sqrt{3} i 
             ___
x3 = 1 + I*\/ 3
x3=1+3ix_{3} = 1 + \sqrt{3} i 
x3 = 1 + sqrt(3)*i
Respuesta numérica [src] 
x1 = -2.0
x2 = 1.0 + 1.73205080756888*i
x3 = 1.0 - 1.73205080756888*i
x3 = 1.0 - 1.73205080756888*i
Gráfico
x^3+8=0 la ecuación
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