x+1/x=0 la ecuación

Tenemos la ecuación
$$x + \frac{1}{x} = 0$$
cambiamos
$$x^{2} = -1$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 2 y miembro libre = -1 < 0,
significa que la ecuación correspondiente no tiene soluciones reales

Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{2} = -1$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{2} e^{2 i p} = -1$$
donde
$$r = 1$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{2 i p} = -1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(2 p \right)} + \cos{\left(2 p \right)} = -1$$
es decir
$$\cos{\left(2 p \right)} = -1$$
y
$$\sin{\left(2 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \pi N + \frac{\pi}{2}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = - i$$
$$z_{2} = i$$
hacemos cambio inverso
$$z = x$$
$$x = z$$

Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = - i$$
$$x_{2} = i$$