Sr Examen
-x^3+6*x^2+10*x+3=0 la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
[src]
3 2 - x + 6*x + 10*x + 3 = 0
$$\left(10 x + \left(- x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) + 3 = 0$$
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\left(10 x + \left(- x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) + 3 = 0$$
cambiamos
$$\left(10 x + \left(\left(6 x^{2} + \left(- x^{3} - 1\right)\right) - 6\right)\right) + 10 = 0$$
o
$$\left(10 x + \left(\left(6 x^{2} + \left(- x^{3} + \left(-1\right)^{3}\right)\right) - 6 \left(-1\right)^{2}\right)\right) - -10 = 0$$
$$10 \left(x + 1\right) + \left(6 \left(x^{2} - \left(-1\right)^{2}\right) - \left(x^{3} - \left(-1\right)^{3}\right)\right) = 0$$
$$10 \left(x + 1\right) + \left(- (x + 1) \left(\left(x^{2} - x\right) + \left(-1\right)^{2}\right) + \left(x - 1\right) 6 \left(x + 1\right)\right) = 0$$
Saquemos el factor común 1 + x fuera de paréntesis
obtendremos:
$$\left(x + 1\right) \left(\left(6 \left(x - 1\right) - \left(\left(x^{2} - x\right) + \left(-1\right)^{2}\right)\right) + 10\right) = 0$$
o
$$\left(x + 1\right) \left(- x^{2} + 7 x + 3\right) = 0$$
entonces:
$$x_{1} = -1$$
y además
obtenemos la ecuación
$$- x^{2} + 7 x + 3 = 0$$
Es la ecuación de la forma
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = 7$$
$$c = 3$$
, entonces
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
o
$$x_{2} = \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{61}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{7}{2} + \frac{\sqrt{61}}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es para -x^3 + 6*x^2 + 10*x + 3 = 0:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{61}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{7}{2} + \frac{\sqrt{61}}{2}$$
$$\left(10 x + \left(- x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) + 3 = 0$$
cambiamos
$$\left(10 x + \left(\left(6 x^{2} + \left(- x^{3} - 1\right)\right) - 6\right)\right) + 10 = 0$$
o
$$\left(10 x + \left(\left(6 x^{2} + \left(- x^{3} + \left(-1\right)^{3}\right)\right) - 6 \left(-1\right)^{2}\right)\right) - -10 = 0$$
$$10 \left(x + 1\right) + \left(6 \left(x^{2} - \left(-1\right)^{2}\right) - \left(x^{3} - \left(-1\right)^{3}\right)\right) = 0$$
$$10 \left(x + 1\right) + \left(- (x + 1) \left(\left(x^{2} - x\right) + \left(-1\right)^{2}\right) + \left(x - 1\right) 6 \left(x + 1\right)\right) = 0$$
Saquemos el factor común 1 + x fuera de paréntesis
obtendremos:
$$\left(x + 1\right) \left(\left(6 \left(x - 1\right) - \left(\left(x^{2} - x\right) + \left(-1\right)^{2}\right)\right) + 10\right) = 0$$
o
$$\left(x + 1\right) \left(- x^{2} + 7 x + 3\right) = 0$$
entonces:
$$x_{1} = -1$$
y además
obtenemos la ecuación
$$- x^{2} + 7 x + 3 = 0$$
Es la ecuación de la forma
a*x^2 + b*x + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = 7$$
$$c = 3$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(7)^2 - 4 * (-1) * (3) = 61
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o
$$x_{2} = \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{61}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{7}{2} + \frac{\sqrt{61}}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es para -x^3 + 6*x^2 + 10*x + 3 = 0:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{61}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{7}{2} + \frac{\sqrt{61}}{2}$$
Teorema de Cardano-Vieta
reescribamos la ecuación
$$\left(10 x + \left(- x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) + 3 = 0$$
de
$$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$$
como ecuación cúbica reducida
$$x^{3} + \frac{b x^{2}}{a} + \frac{c x}{a} + \frac{d}{a} = 0$$
$$x^{3} - 6 x^{2} - 10 x - 3 = 0$$
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = -6$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = -10$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -3$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 6$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = -10$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = -3$$
$$\left(10 x + \left(- x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) + 3 = 0$$
de
$$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$$
como ecuación cúbica reducida
$$x^{3} + \frac{b x^{2}}{a} + \frac{c x}{a} + \frac{d}{a} = 0$$
$$x^{3} - 6 x^{2} - 10 x - 3 = 0$$
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = -6$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = -10$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -3$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 6$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = -10$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = -3$$
Respuesta rápida
[src]
x1 = -1
$$x_{1} = -1$$
____
7 \/ 61
x2 = - - ------
2 2
$$x_{2} = \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{61}}{2}$$
____
7 \/ 61
x3 = - + ------
2 2
$$x_{3} = \frac{7}{2} + \frac{\sqrt{61}}{2}$$
x3 = 7/2 + sqrt(61)/2
Suma y producto de raíces
[src]
suma
____ ____
7 \/ 61 7 \/ 61
-1 + - - ------ + - + ------
2 2 2 2
$$\left(-1 + \left(\frac{7}{2} - \frac{\sqrt{61}}{2}\right)\right) + \left(\frac{7}{2} + \frac{\sqrt{61}}{2}\right)$$
=
6
$$6$$
producto
/ ____\ / ____\ |7 \/ 61 | |7 \/ 61 | -|- - ------|*|- + ------| \2 2 / \2 2 /
$$- (\frac{7}{2} - \frac{\sqrt{61}}{2}) \left(\frac{7}{2} + \frac{\sqrt{61}}{2}\right)$$
=
3
$$3$$
3