Sr Examen
3x^3+2x^2-8x-7=0 la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
[src]
3 2 3*x + 2*x - 8*x - 7 = 0
$$\left(- 8 x + \left(3 x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 7 = 0$$
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\left(- 8 x + \left(3 x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 7 = 0$$
cambiamos
$$\left(- 8 x + \left(\left(2 x^{2} + \left(3 x^{3} + 3\right)\right) - 2\right)\right) - 8 = 0$$
o
$$\left(- 8 x + \left(\left(2 x^{2} + \left(3 x^{3} - 3 \left(-1\right)^{3}\right)\right) - 2 \left(-1\right)^{2}\right)\right) - 8 = 0$$
$$- 8 \left(x + 1\right) + \left(2 \left(x^{2} - \left(-1\right)^{2}\right) + 3 \left(x^{3} - \left(-1\right)^{3}\right)\right) = 0$$
$$- 8 \left(x + 1\right) + \left(\left(x - 1\right) 2 \left(x + 1\right) + 3 \left(x + 1\right) \left(\left(x^{2} - x\right) + \left(-1\right)^{2}\right)\right) = 0$$
Saquemos el factor común 1 + x fuera de paréntesis
obtendremos:
$$\left(x + 1\right) \left(\left(2 \left(x - 1\right) + 3 \left(\left(x^{2} - x\right) + \left(-1\right)^{2}\right)\right) - 8\right) = 0$$
o
$$\left(x + 1\right) \left(3 x^{2} - x - 7\right) = 0$$
entonces:
$$x_{1} = -1$$
y además
obtenemos la ecuación
$$3 x^{2} - x - 7 = 0$$
Es la ecuación de la forma
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 3$$
$$b = -1$$
$$c = -7$$
, entonces
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
o
$$x_{2} = \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{85}}{6}$$
$$x_{3} = \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{85}}{6}$$
Entonces la respuesta definitiva es para 3*x^3 + 2*x^2 - 8*x - 7 = 0:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{85}}{6}$$
$$x_{3} = \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{85}}{6}$$
$$\left(- 8 x + \left(3 x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 7 = 0$$
cambiamos
$$\left(- 8 x + \left(\left(2 x^{2} + \left(3 x^{3} + 3\right)\right) - 2\right)\right) - 8 = 0$$
o
$$\left(- 8 x + \left(\left(2 x^{2} + \left(3 x^{3} - 3 \left(-1\right)^{3}\right)\right) - 2 \left(-1\right)^{2}\right)\right) - 8 = 0$$
$$- 8 \left(x + 1\right) + \left(2 \left(x^{2} - \left(-1\right)^{2}\right) + 3 \left(x^{3} - \left(-1\right)^{3}\right)\right) = 0$$
$$- 8 \left(x + 1\right) + \left(\left(x - 1\right) 2 \left(x + 1\right) + 3 \left(x + 1\right) \left(\left(x^{2} - x\right) + \left(-1\right)^{2}\right)\right) = 0$$
Saquemos el factor común 1 + x fuera de paréntesis
obtendremos:
$$\left(x + 1\right) \left(\left(2 \left(x - 1\right) + 3 \left(\left(x^{2} - x\right) + \left(-1\right)^{2}\right)\right) - 8\right) = 0$$
o
$$\left(x + 1\right) \left(3 x^{2} - x - 7\right) = 0$$
entonces:
$$x_{1} = -1$$
y además
obtenemos la ecuación
$$3 x^{2} - x - 7 = 0$$
Es la ecuación de la forma
a*x^2 + b*x + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 3$$
$$b = -1$$
$$c = -7$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(-1)^2 - 4 * (3) * (-7) = 85
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o
$$x_{2} = \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{85}}{6}$$
$$x_{3} = \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{85}}{6}$$
Entonces la respuesta definitiva es para 3*x^3 + 2*x^2 - 8*x - 7 = 0:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{85}}{6}$$
$$x_{3} = \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{85}}{6}$$
Teorema de Cardano-Vieta
reescribamos la ecuación
$$\left(- 8 x + \left(3 x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 7 = 0$$
de
$$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$$
como ecuación cúbica reducida
$$x^{3} + \frac{b x^{2}}{a} + \frac{c x}{a} + \frac{d}{a} = 0$$
$$x^{3} + \frac{2 x^{2}}{3} - \frac{8 x}{3} - \frac{7}{3} = 0$$
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = \frac{2}{3}$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = - \frac{8}{3}$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = - \frac{7}{3}$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{2}{3}$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = - \frac{8}{3}$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = - \frac{7}{3}$$
$$\left(- 8 x + \left(3 x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) - 7 = 0$$
de
$$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$$
como ecuación cúbica reducida
$$x^{3} + \frac{b x^{2}}{a} + \frac{c x}{a} + \frac{d}{a} = 0$$
$$x^{3} + \frac{2 x^{2}}{3} - \frac{8 x}{3} - \frac{7}{3} = 0$$
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = \frac{2}{3}$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = - \frac{8}{3}$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = - \frac{7}{3}$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{2}{3}$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = - \frac{8}{3}$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = - \frac{7}{3}$$
Respuesta rápida
[src]
x1 = -1
$$x_{1} = -1$$
____
1 \/ 85
x2 = - - ------
6 6
$$x_{2} = \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{85}}{6}$$
____
1 \/ 85
x3 = - + ------
6 6
$$x_{3} = \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{85}}{6}$$
x3 = 1/6 + sqrt(85)/6
Suma y producto de raíces
[src]
suma
____ ____
1 \/ 85 1 \/ 85
-1 + - - ------ + - + ------
6 6 6 6
$$\left(\left(\frac{1}{6} - \frac{\sqrt{85}}{6}\right) - 1\right) + \left(\frac{1}{6} + \frac{\sqrt{85}}{6}\right)$$
=
-2/3
$$- \frac{2}{3}$$
producto
/ ____\ / ____\ |1 \/ 85 | |1 \/ 85 | -|- - ------|*|- + ------| \6 6 / \6 6 /
$$- (\frac{1}{6} - \frac{\sqrt{85}}{6}) \left(\frac{1}{6} + \frac{\sqrt{85}}{6}\right)$$
=
7/3
$$\frac{7}{3}$$
7/3