Sr Examen
Otras calculadoras
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¿Cómo usar?
- La ecuación:
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Ecuación 2*(x+2)*(x+4)=x^2+2*x
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Ecuación 2*(1-3*x)/3+(3*x-3)/2=(x-3)/6-1
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Ecuación (3*x+4)/(x^2-16)=x^2/(x^2-16)
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Ecuación x^4+3*x^2-10=0
- Expresar {x} en función de y en la ecuación:
- -17*x+9*y=-18
- -19*x-4*y=5
- -8*x-1*y=9
- 4*x+4*y=13
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Expresiones idénticas
- z^ dos + uno +sqrt(tres *i)= cero
- z al cuadrado más 1 más raíz cuadrada de (3 multiplicar por i) es igual a 0
- z en el grado dos más uno más raíz cuadrada de (tres multiplicar por i) es igual a cero
- z^2+1+√(3*i)=0
- z2+1+sqrt(3*i)=0
- z2+1+sqrt3*i=0
- z²+1+sqrt(3*i)=0
- z en el grado 2+1+sqrt(3*i)=0
- z^2+1+sqrt(3i)=0
- z2+1+sqrt(3i)=0
- z2+1+sqrt3i=0
- z^2+1+sqrt3i=0
- z^2+1+sqrt(3*i)=O
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Expresiones semejantes
- z^2-1+sqrt(3*i)=0
- z^2+1-sqrt(3*i)=0
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Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(1x+2)=-3
- sqrt(2)*x=sin(x+pi/2)
- sqrt(3)*i=sqrt(3)+i
- sqrt(12/(8x+36))=1/3
- sqrt(2(x+6))=6-3^sqrt(x+6)
z^2+1+sqrt(3*i)=0 la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Solución detallada
Abramos la expresión en la ecuación
$$\left(z^{2} + 1\right) + \sqrt{3 i} = 0$$
Obtenemos la ecuación cuadrática
$$z^{2} + 1 + \sqrt{3} \sqrt{i} = 0$$
Es la ecuación de la forma
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$z_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$z_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = 1 + \sqrt{3} \sqrt{i}$$
, entonces
La ecuación tiene dos raíces.
o
$$z_{1} = \frac{\sqrt{-4 - 4 \sqrt{3} \sqrt{i}}}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt{-4 - 4 \sqrt{3} \sqrt{i}}}{2}$$
$$\left(z^{2} + 1\right) + \sqrt{3 i} = 0$$
Obtenemos la ecuación cuadrática
$$z^{2} + 1 + \sqrt{3} \sqrt{i} = 0$$
Es la ecuación de la forma
a*z^2 + b*z + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$z_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$z_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = 1 + \sqrt{3} \sqrt{i}$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(0)^2 - 4 * (1) * (1 + sqrt(3)*sqrt(i)) = -4 - 4*sqrt(3)*sqrt(i)
La ecuación tiene dos raíces.
z1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
z2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o
$$z_{1} = \frac{\sqrt{-4 - 4 \sqrt{3} \sqrt{i}}}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt{-4 - 4 \sqrt{3} \sqrt{i}}}{2}$$
Teorema de Cardano-Vieta
es ecuación cuadrática reducida
$$p z + q + z^{2} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 1 + \sqrt{3} \sqrt{i}$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$z_{1} + z_{2} = - p$$
$$z_{1} z_{2} = q$$
$$z_{1} + z_{2} = 0$$
$$z_{1} z_{2} = 1 + \sqrt{3} \sqrt{i}$$
$$p z + q + z^{2} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 1 + \sqrt{3} \sqrt{i}$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$z_{1} + z_{2} = - p$$
$$z_{1} z_{2} = q$$
$$z_{1} + z_{2} = 0$$
$$z_{1} z_{2} = 1 + \sqrt{3} \sqrt{i}$$
Gráfica
Respuesta rápida
[src]
/ / ___ \\ / / ___ \\
| | \/ 6 || | | \/ 6 ||
|atan|--------------|| |atan|--------------||
___________________ | | / ___\|| ___________________ | | / ___\||
/ 2 | | | \/ 6 ||| / 2 | | | \/ 6 |||
/ / ___\ | |2*|-1 - -----||| / / ___\ | |2*|-1 - -----|||
/ 3 | \/ 6 | | \ \ 2 //| / 3 | \/ 6 | | \ \ 2 //|
z1 = 4 / - + |-1 - -----| *sin|--------------------| + I*4 / - + |-1 - -----| *cos|--------------------|
\/ 2 \ 2 / \ 2 / \/ 2 \ 2 / \ 2 /
$$z_{1} = \sqrt[4]{\frac{3}{2} + \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} - 1\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{6}}{2 \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} - 1\right)} \right)}}{2} \right)} + i \sqrt[4]{\frac{3}{2} + \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} - 1\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{6}}{2 \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} - 1\right)} \right)}}{2} \right)}$$
/ / ___ \\ / / ___ \\
| | \/ 6 || | | \/ 6 ||
|atan|--------------|| |atan|--------------||
___________________ | | / ___\|| ___________________ | | / ___\||
/ 2 | | | \/ 6 ||| / 2 | | | \/ 6 |||
/ / ___\ | |2*|-1 - -----||| / / ___\ | |2*|-1 - -----|||
/ 3 | \/ 6 | | \ \ 2 //| / 3 | \/ 6 | | \ \ 2 //|
z2 = - 4 / - + |-1 - -----| *sin|--------------------| - I*4 / - + |-1 - -----| *cos|--------------------|
\/ 2 \ 2 / \ 2 / \/ 2 \ 2 / \ 2 /
$$z_{2} = - \sqrt[4]{\frac{3}{2} + \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} - 1\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{6}}{2 \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} - 1\right)} \right)}}{2} \right)} - i \sqrt[4]{\frac{3}{2} + \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} - 1\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{6}}{2 \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} - 1\right)} \right)}}{2} \right)}$$
z2 = -(3/2 + (-sqrt(6)/2 - 1)^2)^(1/4)*sin(atan(sqrt(6)/(2*(-sqrt(6)/2 - 1)))/2) - i*(3/2 + (-sqrt(6)/2 - 1)^2)^(1/4)*cos(atan(sqrt(6)/(2*(-sqrt(6)/2 - 1)))/2)
Suma y producto de raíces
[src]
suma
/ / ___ \\ / / ___ \\ / / ___ \\ / / ___ \\
| | \/ 6 || | | \/ 6 || | | \/ 6 || | | \/ 6 ||
|atan|--------------|| |atan|--------------|| |atan|--------------|| |atan|--------------||
___________________ | | / ___\|| ___________________ | | / ___\|| ___________________ | | / ___\|| ___________________ | | / ___\||
/ 2 | | | \/ 6 ||| / 2 | | | \/ 6 ||| / 2 | | | \/ 6 ||| / 2 | | | \/ 6 |||
/ / ___\ | |2*|-1 - -----||| / / ___\ | |2*|-1 - -----||| / / ___\ | |2*|-1 - -----||| / / ___\ | |2*|-1 - -----|||
/ 3 | \/ 6 | | \ \ 2 //| / 3 | \/ 6 | | \ \ 2 //| / 3 | \/ 6 | | \ \ 2 //| / 3 | \/ 6 | | \ \ 2 //|
4 / - + |-1 - -----| *sin|--------------------| + I*4 / - + |-1 - -----| *cos|--------------------| + - 4 / - + |-1 - -----| *sin|--------------------| - I*4 / - + |-1 - -----| *cos|--------------------|
\/ 2 \ 2 / \ 2 / \/ 2 \ 2 / \ 2 / \/ 2 \ 2 / \ 2 / \/ 2 \ 2 / \ 2 /
$$\left(- \sqrt[4]{\frac{3}{2} + \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} - 1\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{6}}{2 \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} - 1\right)} \right)}}{2} \right)} - i \sqrt[4]{\frac{3}{2} + \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} - 1\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{6}}{2 \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} - 1\right)} \right)}}{2} \right)}\right) + \left(\sqrt[4]{\frac{3}{2} + \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} - 1\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{6}}{2 \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} - 1\right)} \right)}}{2} \right)} + i \sqrt[4]{\frac{3}{2} + \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} - 1\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{6}}{2 \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} - 1\right)} \right)}}{2} \right)}\right)$$
=
0
$$0$$
producto
/ / / ___ \\ / / ___ \\\ / / / ___ \\ / / ___ \\\ | | | \/ 6 || | | \/ 6 ||| | | | \/ 6 || | | \/ 6 ||| | |atan|--------------|| |atan|--------------||| | |atan|--------------|| |atan|--------------||| | ___________________ | | / ___\|| ___________________ | | / ___\||| | ___________________ | | / ___\|| ___________________ | | / ___\||| | / 2 | | | \/ 6 ||| / 2 | | | \/ 6 |||| | / 2 | | | \/ 6 ||| / 2 | | | \/ 6 |||| | / / ___\ | |2*|-1 - -----||| / / ___\ | |2*|-1 - -----|||| | / / ___\ | |2*|-1 - -----||| / / ___\ | |2*|-1 - -----|||| | / 3 | \/ 6 | | \ \ 2 //| / 3 | \/ 6 | | \ \ 2 //|| | / 3 | \/ 6 | | \ \ 2 //| / 3 | \/ 6 | | \ \ 2 //|| |4 / - + |-1 - -----| *sin|--------------------| + I*4 / - + |-1 - -----| *cos|--------------------||*|- 4 / - + |-1 - -----| *sin|--------------------| - I*4 / - + |-1 - -----| *cos|--------------------|| \\/ 2 \ 2 / \ 2 / \/ 2 \ 2 / \ 2 // \ \/ 2 \ 2 / \ 2 / \/ 2 \ 2 / \ 2 //
$$\left(- \sqrt[4]{\frac{3}{2} + \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} - 1\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{6}}{2 \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} - 1\right)} \right)}}{2} \right)} - i \sqrt[4]{\frac{3}{2} + \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} - 1\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{6}}{2 \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} - 1\right)} \right)}}{2} \right)}\right) \left(\sqrt[4]{\frac{3}{2} + \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} - 1\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{6}}{2 \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} - 1\right)} \right)}}{2} \right)} + i \sqrt[4]{\frac{3}{2} + \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} - 1\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{6}}{2 \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} - 1\right)} \right)}}{2} \right)}\right)$$
=
__________________ 2
/ 2 / / / ___\\ / / ___\\\
/ / ___\ | |atan\3 - \/ 6 /| |atan\3 - \/ 6 /||
-\/ 6 + \2 + \/ 6 / *|- I*cos|---------------| + sin|---------------||
\ \ 2 / \ 2 //
---------------------------------------------------------------------------
2
$$- \frac{\sqrt{6 + \left(2 + \sqrt{6}\right)^{2}} \left(\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(3 - \sqrt{6} \right)}}{2} \right)} - i \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(3 - \sqrt{6} \right)}}{2} \right)}\right)^{2}}{2}$$
-sqrt(6 + (2 + sqrt(6))^2)*(-i*cos(atan(3 - sqrt(6))/2) + sin(atan(3 - sqrt(6))/2))^2/2
Respuesta numérica
[src]
z1 = 0.396761697792363 - 1.54342629115441*i
z2 = -0.396761697792363 + 1.54342629115441*i
z2 = -0.396761697792363 + 1.54342629115441*i