17x^2+25y^2-40xy-8x+16=0 la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Solución detallada
Es la ecuación de la forma
a*x^2 + b*x + c = 0 La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
x 1 = D − b 2 a x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a} x 1 = 2 a D − b x 2 = − D − b 2 a x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a} x 2 = 2 a − D − b donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
a = 17 a = 17 a = 17 b = − 40 y − 8 b = - 40 y - 8 b = − 40 y − 8 c = 25 y 2 + 16 c = 25 y^{2} + 16 c = 25 y 2 + 16 , entonces
D = b^2 - 4 * a * c = (-8 - 40*y)^2 - 4 * (17) * (16 + 25*y^2) = -1088 + (-8 - 40*y)^2 - 1700*y^2 La ecuación tiene dos raíces.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a) x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a) o
x 1 = 20 y 17 + − 1700 y 2 + ( − 40 y − 8 ) 2 − 1088 34 + 4 17 x_{1} = \frac{20 y}{17} + \frac{\sqrt{- 1700 y^{2} + \left(- 40 y - 8\right)^{2} - 1088}}{34} + \frac{4}{17} x 1 = 17 20 y + 34 − 1700 y 2 + ( − 40 y − 8 ) 2 − 1088 + 17 4 x 2 = 20 y 17 − − 1700 y 2 + ( − 40 y − 8 ) 2 − 1088 34 + 4 17 x_{2} = \frac{20 y}{17} - \frac{\sqrt{- 1700 y^{2} + \left(- 40 y - 8\right)^{2} - 1088}}{34} + \frac{4}{17} x 2 = 17 20 y − 34 − 1700 y 2 + ( − 40 y − 8 ) 2 − 1088 + 17 4
Teorema de Cardano-Vieta
reescribamos la ecuación
( − 8 x + ( − 40 x y + ( 17 x 2 + 25 y 2 ) ) ) + 16 = 0 \left(- 8 x + \left(- 40 x y + \left(17 x^{2} + 25 y^{2}\right)\right)\right) + 16 = 0 ( − 8 x + ( − 40 x y + ( 17 x 2 + 25 y 2 ) ) ) + 16 = 0 de
a x 2 + b x + c = 0 a x^{2} + b x + c = 0 a x 2 + b x + c = 0 como ecuación cuadrática reducida
x 2 + b x a + c a = 0 x^{2} + \frac{b x}{a} + \frac{c}{a} = 0 x 2 + a b x + a c = 0 x 2 − 40 x y 17 − 8 x 17 + 25 y 2 17 + 16 17 = 0 x^{2} - \frac{40 x y}{17} - \frac{8 x}{17} + \frac{25 y^{2}}{17} + \frac{16}{17} = 0 x 2 − 17 40 x y − 17 8 x + 17 25 y 2 + 17 16 = 0 p x + q + x 2 = 0 p x + q + x^{2} = 0 p x + q + x 2 = 0 donde
p = b a p = \frac{b}{a} p = a b p = − 40 y 17 − 8 17 p = - \frac{40 y}{17} - \frac{8}{17} p = − 17 40 y − 17 8 q = c a q = \frac{c}{a} q = a c q = 25 y 2 17 + 16 17 q = \frac{25 y^{2}}{17} + \frac{16}{17} q = 17 25 y 2 + 17 16 Fórmulas de Cardano-Vieta
x 1 + x 2 = − p x_{1} + x_{2} = - p x 1 + x 2 = − p x 1 x 2 = q x_{1} x_{2} = q x 1 x 2 = q x 1 + x 2 = 40 y 17 + 8 17 x_{1} + x_{2} = \frac{40 y}{17} + \frac{8}{17} x 1 + x 2 = 17 40 y + 17 8 x 1 x 2 = 25 y 2 17 + 16 17 x_{1} x_{2} = \frac{25 y^{2}}{17} + \frac{16}{17} x 1 x 2 = 17 25 y 2 + 17 16
4 5*im(y) 20*re(y) /16 5*re(y) 20*im(y)\
x1 = -- + ------- + -------- + I*|-- - ------- + --------|
17 17 17 \17 17 17 /
x 1 = i ( − 5 re ( y ) 17 + 20 im ( y ) 17 + 16 17 ) + 20 re ( y ) 17 + 5 im ( y ) 17 + 4 17 x_{1} = i \left(- \frac{5 \operatorname{re}{\left(y\right)}}{17} + \frac{20 \operatorname{im}{\left(y\right)}}{17} + \frac{16}{17}\right) + \frac{20 \operatorname{re}{\left(y\right)}}{17} + \frac{5 \operatorname{im}{\left(y\right)}}{17} + \frac{4}{17} x 1 = i ( − 17 5 re ( y ) + 17 20 im ( y ) + 17 16 ) + 17 20 re ( y ) + 17 5 im ( y ) + 17 4
4 5*im(y) 20*re(y) / 16 5*re(y) 20*im(y)\
x2 = -- - ------- + -------- + I*|- -- + ------- + --------|
17 17 17 \ 17 17 17 /
x 2 = i ( 5 re ( y ) 17 + 20 im ( y ) 17 − 16 17 ) + 20 re ( y ) 17 − 5 im ( y ) 17 + 4 17 x_{2} = i \left(\frac{5 \operatorname{re}{\left(y\right)}}{17} + \frac{20 \operatorname{im}{\left(y\right)}}{17} - \frac{16}{17}\right) + \frac{20 \operatorname{re}{\left(y\right)}}{17} - \frac{5 \operatorname{im}{\left(y\right)}}{17} + \frac{4}{17} x 2 = i ( 17 5 re ( y ) + 17 20 im ( y ) − 17 16 ) + 17 20 re ( y ) − 17 5 im ( y ) + 17 4
x2 = i*(5*re(y)/17 + 20*im(y)/17 - 16/17) + 20*re(y)/17 - 5*im(y)/17 + 4/17
Suma y producto de raíces
[src]
4 5*im(y) 20*re(y) /16 5*re(y) 20*im(y)\ 4 5*im(y) 20*re(y) / 16 5*re(y) 20*im(y)\
-- + ------- + -------- + I*|-- - ------- + --------| + -- - ------- + -------- + I*|- -- + ------- + --------|
17 17 17 \17 17 17 / 17 17 17 \ 17 17 17 /
( i ( − 5 re ( y ) 17 + 20 im ( y ) 17 + 16 17 ) + 20 re ( y ) 17 + 5 im ( y ) 17 + 4 17 ) + ( i ( 5 re ( y ) 17 + 20 im ( y ) 17 − 16 17 ) + 20 re ( y ) 17 − 5 im ( y ) 17 + 4 17 ) \left(i \left(- \frac{5 \operatorname{re}{\left(y\right)}}{17} + \frac{20 \operatorname{im}{\left(y\right)}}{17} + \frac{16}{17}\right) + \frac{20 \operatorname{re}{\left(y\right)}}{17} + \frac{5 \operatorname{im}{\left(y\right)}}{17} + \frac{4}{17}\right) + \left(i \left(\frac{5 \operatorname{re}{\left(y\right)}}{17} + \frac{20 \operatorname{im}{\left(y\right)}}{17} - \frac{16}{17}\right) + \frac{20 \operatorname{re}{\left(y\right)}}{17} - \frac{5 \operatorname{im}{\left(y\right)}}{17} + \frac{4}{17}\right) ( i ( − 17 5 re ( y ) + 17 20 im ( y ) + 17 16 ) + 17 20 re ( y ) + 17 5 im ( y ) + 17 4 ) + ( i ( 17 5 re ( y ) + 17 20 im ( y ) − 17 16 ) + 17 20 re ( y ) − 17 5 im ( y ) + 17 4 )
8 40*re(y) / 16 5*re(y) 20*im(y)\ /16 5*re(y) 20*im(y)\
-- + -------- + I*|- -- + ------- + --------| + I*|-- - ------- + --------|
17 17 \ 17 17 17 / \17 17 17 /
i ( − 5 re ( y ) 17 + 20 im ( y ) 17 + 16 17 ) + i ( 5 re ( y ) 17 + 20 im ( y ) 17 − 16 17 ) + 40 re ( y ) 17 + 8 17 i \left(- \frac{5 \operatorname{re}{\left(y\right)}}{17} + \frac{20 \operatorname{im}{\left(y\right)}}{17} + \frac{16}{17}\right) + i \left(\frac{5 \operatorname{re}{\left(y\right)}}{17} + \frac{20 \operatorname{im}{\left(y\right)}}{17} - \frac{16}{17}\right) + \frac{40 \operatorname{re}{\left(y\right)}}{17} + \frac{8}{17} i ( − 17 5 re ( y ) + 17 20 im ( y ) + 17 16 ) + i ( 17 5 re ( y ) + 17 20 im ( y ) − 17 16 ) + 17 40 re ( y ) + 17 8
/4 5*im(y) 20*re(y) /16 5*re(y) 20*im(y)\\ /4 5*im(y) 20*re(y) / 16 5*re(y) 20*im(y)\\
|-- + ------- + -------- + I*|-- - ------- + --------||*|-- - ------- + -------- + I*|- -- + ------- + --------||
\17 17 17 \17 17 17 // \17 17 17 \ 17 17 17 //
( i ( − 5 re ( y ) 17 + 20 im ( y ) 17 + 16 17 ) + 20 re ( y ) 17 + 5 im ( y ) 17 + 4 17 ) ( i ( 5 re ( y ) 17 + 20 im ( y ) 17 − 16 17 ) + 20 re ( y ) 17 − 5 im ( y ) 17 + 4 17 ) \left(i \left(- \frac{5 \operatorname{re}{\left(y\right)}}{17} + \frac{20 \operatorname{im}{\left(y\right)}}{17} + \frac{16}{17}\right) + \frac{20 \operatorname{re}{\left(y\right)}}{17} + \frac{5 \operatorname{im}{\left(y\right)}}{17} + \frac{4}{17}\right) \left(i \left(\frac{5 \operatorname{re}{\left(y\right)}}{17} + \frac{20 \operatorname{im}{\left(y\right)}}{17} - \frac{16}{17}\right) + \frac{20 \operatorname{re}{\left(y\right)}}{17} - \frac{5 \operatorname{im}{\left(y\right)}}{17} + \frac{4}{17}\right) ( i ( − 17 5 re ( y ) + 17 20 im ( y ) + 17 16 ) + 17 20 re ( y ) + 17 5 im ( y ) + 17 4 ) ( i ( 17 5 re ( y ) + 17 20 im ( y ) − 17 16 ) + 17 20 re ( y ) − 17 5 im ( y ) + 17 4 )
2 2
16 25*im (y) 25*re (y) 50*I*im(y)*re(y)
-- - --------- + --------- + ----------------
17 17 17 17
25 ( re ( y ) ) 2 17 + 50 i re ( y ) im ( y ) 17 − 25 ( im ( y ) ) 2 17 + 16 17 \frac{25 \left(\operatorname{re}{\left(y\right)}\right)^{2}}{17} + \frac{50 i \operatorname{re}{\left(y\right)} \operatorname{im}{\left(y\right)}}{17} - \frac{25 \left(\operatorname{im}{\left(y\right)}\right)^{2}}{17} + \frac{16}{17} 17 25 ( re ( y ) ) 2 + 17 50 i re ( y ) im ( y ) − 17 25 ( im ( y ) ) 2 + 17 16
16/17 - 25*im(y)^2/17 + 25*re(y)^2/17 + 50*i*im(y)*re(y)/17
