cos(2*X)*cos(4*X)=-1 la ecuación

Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(4 x \right)} = -1$$
cambiamos
$$2 \cos^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)} = 0$$
$$2 \cos^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
$$2 w^{2} \cos{\left(4 x \right)} = 0$$
cambiamos
$$2 w^{2} = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*w^2 + b*w + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 2$$
$$b = 0$$
$$c = 0$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (2) * (0) = 0

Como D = 0 hay sólo una raíz.

w = -b/2a = -0/2/(2)

$$w_{1} = 0$$
hacemos cambio inverso
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
O
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(0 \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(0 \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{2}$$