x^3+9x^2+27x+27=0 la ecuación

Tenemos la ecuación:
$$\left(27 x + \left(x^{3} + 9 x^{2}\right)\right) + 27 = 0$$
cambiamos
$$\left(27 x + \left(\left(9 x^{2} + \left(x^{3} + 27\right)\right) - 81\right)\right) + 81 = 0$$
o
$$\left(27 x + \left(\left(9 x^{2} + \left(x^{3} - \left(-3\right)^{3}\right)\right) - 9 \left(-3\right)^{2}\right)\right) - -81 = 0$$
$$27 \left(x + 3\right) + \left(9 \left(x^{2} - \left(-3\right)^{2}\right) + \left(x^{3} - \left(-3\right)^{3}\right)\right) = 0$$
$$27 \left(x + 3\right) + \left(\left(x - 3\right) 9 \left(x + 3\right) + \left(x + 3\right) \left(\left(x^{2} - 3 x\right) + \left(-3\right)^{2}\right)\right) = 0$$
Saquemos el factor común 3 + x fuera de paréntesis
obtendremos:
$$\left(x + 3\right) \left(\left(9 \left(x - 3\right) + \left(\left(x^{2} - 3 x\right) + \left(-3\right)^{2}\right)\right) + 27\right) = 0$$
o
$$\left(x + 3\right) \left(x^{2} + 6 x + 9\right) = 0$$
entonces:
$$x_{1} = -3$$
y además
obtenemos la ecuación
$$x^{2} + 6 x + 9 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 6$$
$$c = 9$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(6)^2 - 4 * (1) * (9) = 0

Como D = 0 hay sólo una raíz.

x = -b/2a = -6/2/(1)

$$x_{2} = -3$$
Entonces la respuesta definitiva es para x^3 + 9*x^2 + 27*x + 27 = 0:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -3$$