Sr Examen
y=x^2+5x-7y=2x+3 la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Solución detallada
Transportemos el miembro derecho de la ecuación al
miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo.
La ecuación se convierte de
$$y = - 7 y + \left(x^{2} + 5 x\right)$$
en
$$y + \left(7 y + \left(- x^{2} - 5 x\right)\right) = 0$$
Es la ecuación de la forma
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = -5$$
$$c = 8 y$$
, entonces
La ecuación tiene dos raíces.
o
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{32 y + 25}}{2} - \frac{5}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{32 y + 25}}{2} - \frac{5}{2}$$
miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo.
La ecuación se convierte de
$$y = - 7 y + \left(x^{2} + 5 x\right)$$
en
$$y + \left(7 y + \left(- x^{2} - 5 x\right)\right) = 0$$
Es la ecuación de la forma
a*x^2 + b*x + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = -5$$
$$c = 8 y$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(-5)^2 - 4 * (-1) * (8*y) = 25 + 32*y
La ecuación tiene dos raíces.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{32 y + 25}}{2} - \frac{5}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{32 y + 25}}{2} - \frac{5}{2}$$
Teorema de Cardano-Vieta
reescribamos la ecuación
$$y = - 7 y + \left(x^{2} + 5 x\right)$$
de
$$a x^{2} + b x + c = 0$$
como ecuación cuadrática reducida
$$x^{2} + \frac{b x}{a} + \frac{c}{a} = 0$$
$$x^{2} + 5 x - 8 y = 0$$
$$p x + q + x^{2} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 5$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = - 8 y$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$x_{1} + x_{2} = - p$$
$$x_{1} x_{2} = q$$
$$x_{1} + x_{2} = -5$$
$$x_{1} x_{2} = - 8 y$$
$$y = - 7 y + \left(x^{2} + 5 x\right)$$
de
$$a x^{2} + b x + c = 0$$
como ecuación cuadrática reducida
$$x^{2} + \frac{b x}{a} + \frac{c}{a} = 0$$
$$x^{2} + 5 x - 8 y = 0$$
$$p x + q + x^{2} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 5$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = - 8 y$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$x_{1} + x_{2} = - p$$
$$x_{1} x_{2} = q$$
$$x_{1} + x_{2} = -5$$
$$x_{1} x_{2} = - 8 y$$
Gráfica
Respuesta rápida
[src]
________________________________ ________________________________
4 / 2 2 /atan2(32*im(y), 25 + 32*re(y))\ 4 / 2 2 /atan2(32*im(y), 25 + 32*re(y))\
\/ (25 + 32*re(y)) + 1024*im (y) *cos|------------------------------| I*\/ (25 + 32*re(y)) + 1024*im (y) *sin|------------------------------|
5 \ 2 / \ 2 /
x1 = - - - ----------------------------------------------------------------------- - -------------------------------------------------------------------------
2 2 2
$$x_{1} = - \frac{i \sqrt[4]{\left(32 \operatorname{re}{\left(y\right)} + 25\right)^{2} + 1024 \left(\operatorname{im}{\left(y\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(32 \operatorname{im}{\left(y\right)},32 \operatorname{re}{\left(y\right)} + 25 \right)}}{2} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[4]{\left(32 \operatorname{re}{\left(y\right)} + 25\right)^{2} + 1024 \left(\operatorname{im}{\left(y\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(32 \operatorname{im}{\left(y\right)},32 \operatorname{re}{\left(y\right)} + 25 \right)}}{2} \right)}}{2} - \frac{5}{2}$$
________________________________ ________________________________
4 / 2 2 /atan2(32*im(y), 25 + 32*re(y))\ 4 / 2 2 /atan2(32*im(y), 25 + 32*re(y))\
\/ (25 + 32*re(y)) + 1024*im (y) *cos|------------------------------| I*\/ (25 + 32*re(y)) + 1024*im (y) *sin|------------------------------|
5 \ 2 / \ 2 /
x2 = - - + ----------------------------------------------------------------------- + -------------------------------------------------------------------------
2 2 2
$$x_{2} = \frac{i \sqrt[4]{\left(32 \operatorname{re}{\left(y\right)} + 25\right)^{2} + 1024 \left(\operatorname{im}{\left(y\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(32 \operatorname{im}{\left(y\right)},32 \operatorname{re}{\left(y\right)} + 25 \right)}}{2} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[4]{\left(32 \operatorname{re}{\left(y\right)} + 25\right)^{2} + 1024 \left(\operatorname{im}{\left(y\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(32 \operatorname{im}{\left(y\right)},32 \operatorname{re}{\left(y\right)} + 25 \right)}}{2} \right)}}{2} - \frac{5}{2}$$
x2 = i*((32*re(y) + 25)^2 + 1024*im(y)^2)^(1/4)*sin(atan2(32*im(y, 32*re(y) + 25)/2)/2 + ((32*re(y) + 25)^2 + 1024*im(y)^2)^(1/4)*cos(atan2(32*im(y), 32*re(y) + 25)/2)/2 - 5/2)
Suma y producto de raíces
[src]
suma
________________________________ ________________________________ ________________________________ ________________________________
4 / 2 2 /atan2(32*im(y), 25 + 32*re(y))\ 4 / 2 2 /atan2(32*im(y), 25 + 32*re(y))\ 4 / 2 2 /atan2(32*im(y), 25 + 32*re(y))\ 4 / 2 2 /atan2(32*im(y), 25 + 32*re(y))\
\/ (25 + 32*re(y)) + 1024*im (y) *cos|------------------------------| I*\/ (25 + 32*re(y)) + 1024*im (y) *sin|------------------------------| \/ (25 + 32*re(y)) + 1024*im (y) *cos|------------------------------| I*\/ (25 + 32*re(y)) + 1024*im (y) *sin|------------------------------|
5 \ 2 / \ 2 / 5 \ 2 / \ 2 /
- - - ----------------------------------------------------------------------- - ------------------------------------------------------------------------- + - - + ----------------------------------------------------------------------- + -------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2 2
$$\left(- \frac{i \sqrt[4]{\left(32 \operatorname{re}{\left(y\right)} + 25\right)^{2} + 1024 \left(\operatorname{im}{\left(y\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(32 \operatorname{im}{\left(y\right)},32 \operatorname{re}{\left(y\right)} + 25 \right)}}{2} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[4]{\left(32 \operatorname{re}{\left(y\right)} + 25\right)^{2} + 1024 \left(\operatorname{im}{\left(y\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(32 \operatorname{im}{\left(y\right)},32 \operatorname{re}{\left(y\right)} + 25 \right)}}{2} \right)}}{2} - \frac{5}{2}\right) + \left(\frac{i \sqrt[4]{\left(32 \operatorname{re}{\left(y\right)} + 25\right)^{2} + 1024 \left(\operatorname{im}{\left(y\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(32 \operatorname{im}{\left(y\right)},32 \operatorname{re}{\left(y\right)} + 25 \right)}}{2} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[4]{\left(32 \operatorname{re}{\left(y\right)} + 25\right)^{2} + 1024 \left(\operatorname{im}{\left(y\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(32 \operatorname{im}{\left(y\right)},32 \operatorname{re}{\left(y\right)} + 25 \right)}}{2} \right)}}{2} - \frac{5}{2}\right)$$
=
-5
$$-5$$
producto
/ ________________________________ ________________________________ \ / ________________________________ ________________________________ \ | 4 / 2 2 /atan2(32*im(y), 25 + 32*re(y))\ 4 / 2 2 /atan2(32*im(y), 25 + 32*re(y))\| | 4 / 2 2 /atan2(32*im(y), 25 + 32*re(y))\ 4 / 2 2 /atan2(32*im(y), 25 + 32*re(y))\| | \/ (25 + 32*re(y)) + 1024*im (y) *cos|------------------------------| I*\/ (25 + 32*re(y)) + 1024*im (y) *sin|------------------------------|| | \/ (25 + 32*re(y)) + 1024*im (y) *cos|------------------------------| I*\/ (25 + 32*re(y)) + 1024*im (y) *sin|------------------------------|| | 5 \ 2 / \ 2 /| | 5 \ 2 / \ 2 /| |- - - ----------------------------------------------------------------------- - -------------------------------------------------------------------------|*|- - + ----------------------------------------------------------------------- + -------------------------------------------------------------------------| \ 2 2 2 / \ 2 2 2 /
$$\left(- \frac{i \sqrt[4]{\left(32 \operatorname{re}{\left(y\right)} + 25\right)^{2} + 1024 \left(\operatorname{im}{\left(y\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(32 \operatorname{im}{\left(y\right)},32 \operatorname{re}{\left(y\right)} + 25 \right)}}{2} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[4]{\left(32 \operatorname{re}{\left(y\right)} + 25\right)^{2} + 1024 \left(\operatorname{im}{\left(y\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(32 \operatorname{im}{\left(y\right)},32 \operatorname{re}{\left(y\right)} + 25 \right)}}{2} \right)}}{2} - \frac{5}{2}\right) \left(\frac{i \sqrt[4]{\left(32 \operatorname{re}{\left(y\right)} + 25\right)^{2} + 1024 \left(\operatorname{im}{\left(y\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(32 \operatorname{im}{\left(y\right)},32 \operatorname{re}{\left(y\right)} + 25 \right)}}{2} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[4]{\left(32 \operatorname{re}{\left(y\right)} + 25\right)^{2} + 1024 \left(\operatorname{im}{\left(y\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(32 \operatorname{im}{\left(y\right)},32 \operatorname{re}{\left(y\right)} + 25 \right)}}{2} \right)}}{2} - \frac{5}{2}\right)$$
=
-8*re(y) - 8*I*im(y)
$$- 8 \operatorname{re}{\left(y\right)} - 8 i \operatorname{im}{\left(y\right)}$$
-8*re(y) - 8*i*im(y)