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√(x^2+10x+26)=(2a^2-4a-3)/(a^2-2a-8) la ecuación

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Solución numérica:

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Solución

Ha introducido [src]
   ________________      2          
  /  2                2*a  - 4*a - 3
\/  x  + 10*x + 26  = --------------
                        2           
                       a  - 2*a - 8 
$$\sqrt{\left(x^{2} + 10 x\right) + 26} = \frac{\left(2 a^{2} - 4 a\right) - 3}{\left(a^{2} - 2 a\right) - 8}$$
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$\sqrt{\left(x^{2} + 10 x\right) + 26} = \frac{\left(2 a^{2} - 4 a\right) - 3}{\left(a^{2} - 2 a\right) - 8}$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$\sqrt{x^{2} + 10 x + 26} = \frac{2 a^{2} - 4 a - 3}{a^{2} - 2 a - 8}$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$x^{2} + 10 x + 26 = \frac{\left(2 a^{2} - 4 a - 3\right)^{2}}{\left(a^{2} - 2 a - 8\right)^{2}}$$
$$x^{2} + 10 x + 26 = \frac{4 a^{4}}{a^{4} - 4 a^{3} - 12 a^{2} + 32 a + 64} - \frac{16 a^{3}}{a^{4} - 4 a^{3} - 12 a^{2} + 32 a + 64} + \frac{4 a^{2}}{a^{4} - 4 a^{3} - 12 a^{2} + 32 a + 64} + \frac{24 a}{a^{4} - 4 a^{3} - 12 a^{2} + 32 a + 64} + \frac{9}{a^{4} - 4 a^{3} - 12 a^{2} + 32 a + 64}$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- \frac{4 a^{4}}{a^{4} - 4 a^{3} - 12 a^{2} + 32 a + 64} + \frac{16 a^{3}}{a^{4} - 4 a^{3} - 12 a^{2} + 32 a + 64} - \frac{4 a^{2}}{a^{4} - 4 a^{3} - 12 a^{2} + 32 a + 64} - \frac{24 a}{a^{4} - 4 a^{3} - 12 a^{2} + 32 a + 64} + x^{2} + 10 x + 26 - \frac{9}{a^{4} - 4 a^{3} - 12 a^{2} + 32 a + 64} = 0$$
Es la ecuación de la forma
a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 10$$
$$c = - \frac{4 a^{4}}{a^{4} - 4 a^{3} - 12 a^{2} + 32 a + 64} + \frac{16 a^{3}}{a^{4} - 4 a^{3} - 12 a^{2} + 32 a + 64} - \frac{4 a^{2}}{a^{4} - 4 a^{3} - 12 a^{2} + 32 a + 64} - \frac{24 a}{a^{4} - 4 a^{3} - 12 a^{2} + 32 a + 64} + 26 - \frac{9}{a^{4} - 4 a^{3} - 12 a^{2} + 32 a + 64}$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c = 

(10)^2 - 4 * (1) * (26 - 9/(64 + a^4 - 12*a^2 - 4*a^3 + 32*a) - 24*a/(64 + a^4 - 12*a^2 - 4*a^3 + 32*a) - 4*a^2/(64 + a^4 - 12*a^2 - 4*a^3 + 32*a) - 4*a^4/(64 + a^4 - 12*a^2 - 4*a^3 + 32*a) + 16*a^3/(64 + a^4 - 12*a^2 - 4*a^3 + 32*a)) = -4 + 36/(64 + a^4 - 12*a^2 - 4*a^3 + 32*a) - 64*a^3/(64 + a^4 - 12*a^2 - 4*a^3 + 32*a) + 16*a^2/(64 + a^4 - 12*a^2 - 4*a^3 + 32*a) + 16*a^4/(64 + a^4 - 12*a^2 - 4*a^3 + 32*a) + 96*a/(64 + a^4 - 12*a^2 - 4*a^3 + 32*a)

La ecuación tiene dos raíces.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \frac{\sqrt{\frac{16 a^{4}}{a^{4} - 4 a^{3} - 12 a^{2} + 32 a + 64} - \frac{64 a^{3}}{a^{4} - 4 a^{3} - 12 a^{2} + 32 a + 64} + \frac{16 a^{2}}{a^{4} - 4 a^{3} - 12 a^{2} + 32 a + 64} + \frac{96 a}{a^{4} - 4 a^{3} - 12 a^{2} + 32 a + 64} - 4 + \frac{36}{a^{4} - 4 a^{3} - 12 a^{2} + 32 a + 64}}}{2} - 5$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{\frac{16 a^{4}}{a^{4} - 4 a^{3} - 12 a^{2} + 32 a + 64} - \frac{64 a^{3}}{a^{4} - 4 a^{3} - 12 a^{2} + 32 a + 64} + \frac{16 a^{2}}{a^{4} - 4 a^{3} - 12 a^{2} + 32 a + 64} + \frac{96 a}{a^{4} - 4 a^{3} - 12 a^{2} + 32 a + 64} - 4 + \frac{36}{a^{4} - 4 a^{3} - 12 a^{2} + 32 a + 64}}}{2} - 5$$
Gráfica
Respuesta rápida [src]
                                                                                /     /  /                 2\         /                 2\\\                                                                           /     /  /                 2\         /                 2\\\
                  __________________________________________________________    |     |  |/              2\ |         |/              2\ |||             __________________________________________________________    |     |  |/              2\ |         |/              2\ |||
                 /                              2                               |     |  |\-3 - 4*a + 2*a / |         |\-3 - 4*a + 2*a / |||            /                              2                               |     |  |\-3 - 4*a + 2*a / |         |\-3 - 4*a + 2*a / |||
                /  /       /                 2\\       /                 2\     |atan2|im|------------------|, -1 + re|------------------|||           /  /       /                 2\\       /                 2\     |atan2|im|------------------|, -1 + re|------------------|||
               /   |       |/              2\ ||       |/              2\ |     |     |  |        2        2|         |        2        2|||          /   |       |/              2\ ||       |/              2\ |     |     |  |        2        2|         |        2        2|||
              /    |       |\-3 - 4*a + 2*a / ||      2|\-3 - 4*a + 2*a / |     |     \  \(-4 + a) *(2 + a) /         \(-4 + a) *(2 + a) //|         /    |       |\-3 - 4*a + 2*a / ||      2|\-3 - 4*a + 2*a / |     |     \  \(-4 + a) *(2 + a) /         \(-4 + a) *(2 + a) //|
x1 = -5 -    /     |-1 + re|------------------||  + im |------------------| *cos|----------------------------------------------------------| - I*   /     |-1 + re|------------------||  + im |------------------| *sin|----------------------------------------------------------|
          4 /      |       |        2        2||       |        2        2|     \                            2                             /     4 /      |       |        2        2||       |        2        2|     \                            2                             /
          \/       \       \(-4 + a) *(2 + a) //       \(-4 + a) *(2 + a) /                                                                      \/       \       \(-4 + a) *(2 + a) //       \(-4 + a) *(2 + a) /                                                                 
$$x_{1} = - i \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(\frac{\left(2 a^{2} - 4 a - 3\right)^{2}}{\left(a - 4\right)^{2} \left(a + 2\right)^{2}}\right)} - 1\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(\frac{\left(2 a^{2} - 4 a - 3\right)^{2}}{\left(a - 4\right)^{2} \left(a + 2\right)^{2}}\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(\operatorname{im}{\left(\frac{\left(2 a^{2} - 4 a - 3\right)^{2}}{\left(a - 4\right)^{2} \left(a + 2\right)^{2}}\right)},\operatorname{re}{\left(\frac{\left(2 a^{2} - 4 a - 3\right)^{2}}{\left(a - 4\right)^{2} \left(a + 2\right)^{2}}\right)} - 1 \right)}}{2} \right)} - \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(\frac{\left(2 a^{2} - 4 a - 3\right)^{2}}{\left(a - 4\right)^{2} \left(a + 2\right)^{2}}\right)} - 1\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(\frac{\left(2 a^{2} - 4 a - 3\right)^{2}}{\left(a - 4\right)^{2} \left(a + 2\right)^{2}}\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(\operatorname{im}{\left(\frac{\left(2 a^{2} - 4 a - 3\right)^{2}}{\left(a - 4\right)^{2} \left(a + 2\right)^{2}}\right)},\operatorname{re}{\left(\frac{\left(2 a^{2} - 4 a - 3\right)^{2}}{\left(a - 4\right)^{2} \left(a + 2\right)^{2}}\right)} - 1 \right)}}{2} \right)} - 5$$
                                                                                /     /  /                 2\         /                 2\\\                                                                           /     /  /                 2\         /                 2\\\
                  __________________________________________________________    |     |  |/              2\ |         |/              2\ |||             __________________________________________________________    |     |  |/              2\ |         |/              2\ |||
                 /                              2                               |     |  |\-3 - 4*a + 2*a / |         |\-3 - 4*a + 2*a / |||            /                              2                               |     |  |\-3 - 4*a + 2*a / |         |\-3 - 4*a + 2*a / |||
                /  /       /                 2\\       /                 2\     |atan2|im|------------------|, -1 + re|------------------|||           /  /       /                 2\\       /                 2\     |atan2|im|------------------|, -1 + re|------------------|||
               /   |       |/              2\ ||       |/              2\ |     |     |  |        2        2|         |        2        2|||          /   |       |/              2\ ||       |/              2\ |     |     |  |        2        2|         |        2        2|||
              /    |       |\-3 - 4*a + 2*a / ||      2|\-3 - 4*a + 2*a / |     |     \  \(-4 + a) *(2 + a) /         \(-4 + a) *(2 + a) //|         /    |       |\-3 - 4*a + 2*a / ||      2|\-3 - 4*a + 2*a / |     |     \  \(-4 + a) *(2 + a) /         \(-4 + a) *(2 + a) //|
x2 = -5 +    /     |-1 + re|------------------||  + im |------------------| *cos|----------------------------------------------------------| + I*   /     |-1 + re|------------------||  + im |------------------| *sin|----------------------------------------------------------|
          4 /      |       |        2        2||       |        2        2|     \                            2                             /     4 /      |       |        2        2||       |        2        2|     \                            2                             /
          \/       \       \(-4 + a) *(2 + a) //       \(-4 + a) *(2 + a) /                                                                      \/       \       \(-4 + a) *(2 + a) //       \(-4 + a) *(2 + a) /                                                                 
$$x_{2} = i \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(\frac{\left(2 a^{2} - 4 a - 3\right)^{2}}{\left(a - 4\right)^{2} \left(a + 2\right)^{2}}\right)} - 1\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(\frac{\left(2 a^{2} - 4 a - 3\right)^{2}}{\left(a - 4\right)^{2} \left(a + 2\right)^{2}}\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(\operatorname{im}{\left(\frac{\left(2 a^{2} - 4 a - 3\right)^{2}}{\left(a - 4\right)^{2} \left(a + 2\right)^{2}}\right)},\operatorname{re}{\left(\frac{\left(2 a^{2} - 4 a - 3\right)^{2}}{\left(a - 4\right)^{2} \left(a + 2\right)^{2}}\right)} - 1 \right)}}{2} \right)} + \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(\frac{\left(2 a^{2} - 4 a - 3\right)^{2}}{\left(a - 4\right)^{2} \left(a + 2\right)^{2}}\right)} - 1\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(\frac{\left(2 a^{2} - 4 a - 3\right)^{2}}{\left(a - 4\right)^{2} \left(a + 2\right)^{2}}\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(\operatorname{im}{\left(\frac{\left(2 a^{2} - 4 a - 3\right)^{2}}{\left(a - 4\right)^{2} \left(a + 2\right)^{2}}\right)},\operatorname{re}{\left(\frac{\left(2 a^{2} - 4 a - 3\right)^{2}}{\left(a - 4\right)^{2} \left(a + 2\right)^{2}}\right)} - 1 \right)}}{2} \right)} - 5$$
x2 = i*((re((2*a^2 - 4*a - 3)^2/((a - 4)^2*(a + 2)^2)) - 1)^2 + im((2*a^2 - 4*a - 3)^2/((a - 4)^2*(a + 2)^2))^2)^(1/4)*sin(atan2(im((2*a^2 - 4*a - 3)^2/((a - 4)^2*(a + 2)^2), re((2*a^2 - 4*a - 3)^2/((a - 4)^2*(a + 2)^2)) - 1)/2) + ((re((2*a^2 - 4*a - 3)^2/((a - 4)^2*(a + 2)^2)) - 1)^2 + im((2*a^2 - 4*a - 3)^2/((a - 4)^2*(a + 2)^2))^2)^(1/4)*cos(atan2(im((2*a^2 - 4*a - 3)^2/((a - 4)^2*(a + 2)^2)), re((2*a^2 - 4*a - 3)^2/((a - 4)^2*(a + 2)^2)) - 1)/2) - 5)