Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y=x^3-6x^2+8x
-
y=x^2+2x
-
y=(x+1)/(x-1)
-
y=x+1
-
Expresiones idénticas
- (3x- dos)^((uno / dos))/((x)^(dos)-x- dos)
- (3x menos 2) en el grado ((1 dividir por 2)) dividir por ((x) en el grado (2) menos x menos 2)
- (3x menos dos) en el grado ((uno dividir por dos)) dividir por ((x) en el grado (dos) menos x menos dos)
- (3x-2)((1/2))/((x)(2)-x-2)
- 3x-21/2/x2-x-2
- 3x-2^1/2/x^2-x-2
- (3x-2)^((1 dividir por 2)) dividir por ((x)^(2)-x-2)
-
Expresiones semejantes
- (3x-2)^((1/2))/((x)^(2)-x+2)
- (3x+2)^((1/2))/((x)^(2)-x-2)
- (3x-2)^((1/2))/((x)^(2)+x-2)
Gráfico de la función y = (3x-2)^((1/2))/((x)^(2)-x-2)
Solución
Ha introducido
[src]
_________
\/ 3*x - 2
f(x) = -----------
2
x - x - 2
$$f{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{3 x - 2}}{\left(x^{2} - x\right) - 2}$$
f = sqrt(3*x - 2)/(x^2 - x - 2)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sqrt{3 x - 2}}{\left(x^{2} - x\right) - 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{2}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.666666666666667$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sqrt{3 x - 2}}{\left(x^{2} - x\right) - 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{2}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.666666666666667$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(1 - 2 x\right) \sqrt{3 x - 2}}{\left(\left(x^{2} - x\right) - 2\right)^{2}} + \frac{3}{2 \sqrt{3 x - 2} \left(\left(x^{2} - x\right) - 2\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(1 - 2 x\right) \sqrt{3 x - 2}}{\left(\left(x^{2} - x\right) - 2\right)^{2}} + \frac{3}{2 \sqrt{3 x - 2} \left(\left(x^{2} - x\right) - 2\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \frac{3 \left(2 x - 1\right)}{\sqrt{3 x - 2} \left(- x^{2} + x + 2\right)} - \frac{2 \sqrt{3 x - 2} \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 2} + 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + \frac{9}{4 \left(3 x - 2\right)^{\frac{3}{2}}}}{- x^{2} + x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\sqrt{- \frac{721}{405} + \frac{6241}{36450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}}}}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{1442}{405} - 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}} - \frac{6241}{36450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}}} + \frac{8}{3645 \sqrt{- \frac{721}{405} + \frac{6241}{36450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}}}}}}{2} + \frac{11}{18}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- \frac{1442}{405} - 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}} - \frac{6241}{36450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}}} + \frac{8}{3645 \sqrt{- \frac{721}{405} + \frac{6241}{36450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{721}{405} + \frac{6241}{36450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}}}}{2} + \frac{11}{18}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{- \frac{3 \left(2 x - 1\right)}{\sqrt{3 x - 2} \left(- x^{2} + x + 2\right)} - \frac{2 \sqrt{3 x - 2} \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 2} + 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + \frac{9}{4 \left(3 x - 2\right)^{\frac{3}{2}}}}{- x^{2} + x + 2}\right) = \infty i$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{- \frac{3 \left(2 x - 1\right)}{\sqrt{3 x - 2} \left(- x^{2} + x + 2\right)} - \frac{2 \sqrt{3 x - 2} \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 2} + 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + \frac{9}{4 \left(3 x - 2\right)^{\frac{3}{2}}}}{- x^{2} + x + 2}\right) = - \infty i$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{- \frac{3 \left(2 x - 1\right)}{\sqrt{3 x - 2} \left(- x^{2} + x + 2\right)} - \frac{2 \sqrt{3 x - 2} \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 2} + 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + \frac{9}{4 \left(3 x - 2\right)^{\frac{3}{2}}}}{- x^{2} + x + 2}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{- \frac{3 \left(2 x - 1\right)}{\sqrt{3 x - 2} \left(- x^{2} + x + 2\right)} - \frac{2 \sqrt{3 x - 2} \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 2} + 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + \frac{9}{4 \left(3 x - 2\right)^{\frac{3}{2}}}}{- x^{2} + x + 2}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\sqrt{- \frac{721}{405} + \frac{6241}{36450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}}}}{2} + \frac{\sqrt{\left|{- \frac{8}{3645 \sqrt{- \frac{721}{405} + \frac{6241}{36450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}}}} + \frac{6241}{36450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}} + \frac{1442}{405}}\right|}}{2} + \frac{11}{18}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{\sqrt{- \frac{721}{405} + \frac{6241}{36450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}}}}{2} + \frac{\sqrt{\left|{- \frac{8}{3645 \sqrt{- \frac{721}{405} + \frac{6241}{36450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}}}} + \frac{6241}{36450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}} + \frac{1442}{405}}\right|}}{2} + \frac{11}{18}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \frac{3 \left(2 x - 1\right)}{\sqrt{3 x - 2} \left(- x^{2} + x + 2\right)} - \frac{2 \sqrt{3 x - 2} \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 2} + 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + \frac{9}{4 \left(3 x - 2\right)^{\frac{3}{2}}}}{- x^{2} + x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\sqrt{- \frac{721}{405} + \frac{6241}{36450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}}}}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{1442}{405} - 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}} - \frac{6241}{36450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}}} + \frac{8}{3645 \sqrt{- \frac{721}{405} + \frac{6241}{36450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}}}}}}{2} + \frac{11}{18}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- \frac{1442}{405} - 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}} - \frac{6241}{36450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}}} + \frac{8}{3645 \sqrt{- \frac{721}{405} + \frac{6241}{36450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{721}{405} + \frac{6241}{36450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}}}}{2} + \frac{11}{18}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{- \frac{3 \left(2 x - 1\right)}{\sqrt{3 x - 2} \left(- x^{2} + x + 2\right)} - \frac{2 \sqrt{3 x - 2} \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 2} + 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + \frac{9}{4 \left(3 x - 2\right)^{\frac{3}{2}}}}{- x^{2} + x + 2}\right) = \infty i$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{- \frac{3 \left(2 x - 1\right)}{\sqrt{3 x - 2} \left(- x^{2} + x + 2\right)} - \frac{2 \sqrt{3 x - 2} \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 2} + 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + \frac{9}{4 \left(3 x - 2\right)^{\frac{3}{2}}}}{- x^{2} + x + 2}\right) = - \infty i$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{- \frac{3 \left(2 x - 1\right)}{\sqrt{3 x - 2} \left(- x^{2} + x + 2\right)} - \frac{2 \sqrt{3 x - 2} \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 2} + 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + \frac{9}{4 \left(3 x - 2\right)^{\frac{3}{2}}}}{- x^{2} + x + 2}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{- \frac{3 \left(2 x - 1\right)}{\sqrt{3 x - 2} \left(- x^{2} + x + 2\right)} - \frac{2 \sqrt{3 x - 2} \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 2} + 1\right)}{- x^{2} + x + 2} + \frac{9}{4 \left(3 x - 2\right)^{\frac{3}{2}}}}{- x^{2} + x + 2}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\sqrt{- \frac{721}{405} + \frac{6241}{36450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}}}}{2} + \frac{\sqrt{\left|{- \frac{8}{3645 \sqrt{- \frac{721}{405} + \frac{6241}{36450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}}}} + \frac{6241}{36450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}} + \frac{1442}{405}}\right|}}{2} + \frac{11}{18}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{\sqrt{- \frac{721}{405} + \frac{6241}{36450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}}}}{2} + \frac{\sqrt{\left|{- \frac{8}{3645 \sqrt{- \frac{721}{405} + \frac{6241}{36450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}}}} + \frac{6241}{36450 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{4 \sqrt{10494805}}{54675} + \frac{4690961}{19683000}} + \frac{1442}{405}}\right|}}{2} + \frac{11}{18}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{3 x - 2}}{\left(x^{2} - x\right) - 2}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{3 x - 2}}{\left(x^{2} - x\right) - 2}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{3 x - 2}}{\left(x^{2} - x\right) - 2}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{3 x - 2}}{\left(x^{2} - x\right) - 2}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(3*x - 2)/(x^2 - x - 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{3 x - 2}}{x \left(\left(x^{2} - x\right) - 2\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{3 x - 2}}{x \left(\left(x^{2} - x\right) - 2\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{3 x - 2}}{x \left(\left(x^{2} - x\right) - 2\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{3 x - 2}}{x \left(\left(x^{2} - x\right) - 2\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sqrt{3 x - 2}}{\left(x^{2} - x\right) - 2} = \frac{\sqrt{- 3 x - 2}}{x^{2} + x - 2}$$
- No
$$\frac{\sqrt{3 x - 2}}{\left(x^{2} - x\right) - 2} = - \frac{\sqrt{- 3 x - 2}}{x^{2} + x - 2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sqrt{3 x - 2}}{\left(x^{2} - x\right) - 2} = \frac{\sqrt{- 3 x - 2}}{x^{2} + x - 2}$$
- No
$$\frac{\sqrt{3 x - 2}}{\left(x^{2} - x\right) - 2} = - \frac{\sqrt{- 3 x - 2}}{x^{2} + x - 2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar