sin2x≥√2/2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sin{\left(2 x \right)} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin{\left(2 x \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(2 x \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$2 x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$2 x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)} + \pi$$
O
$$2 x = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$2 x = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$2$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{8}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{3 \pi}{8}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{8}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{3 \pi}{8}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{8}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{3 \pi}{8}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\pi n + \frac{\pi}{8}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{8}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin{\left(2 x \right)} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \left(\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{8}\right) \right)} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$$

                            ___
   /  1   pi         \    \/ 2 
sin|- - + -- + 2*pi*n| >= -----
   \  5   4          /      2  
                          

pero

                           ___
   /  1   pi         \   \/ 2 
sin|- - + -- + 2*pi*n| < -----
   \  5   4          /     2  
                         

Entonces
$$x \leq \pi n + \frac{\pi}{8}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq \pi n + \frac{\pi}{8} \wedge x \leq \pi n + \frac{3 \pi}{8}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2