sqrt(x-1)-sqrt(14-x)>1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$- \sqrt{14 - x} + \sqrt{x - 1} > 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- \sqrt{14 - x} + \sqrt{x - 1} = 1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$- \sqrt{14 - x} + \sqrt{x - 1} = 1$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$\left(- \sqrt{14 - x} + \sqrt{x - 1}\right)^{2} = 1$$
o
$$\left(-1\right)^{2} \left(14 - x\right) + \left(\left(-1\right) 2 \sqrt{\left(14 - x\right) \left(x - 1\right)} + 1^{2} \left(x - 1\right)\right) = 1$$
o
$$13 - 2 \sqrt{- x^{2} + 15 x - 14} = 1$$
cambiamos:
$$- 2 \sqrt{- x^{2} + 15 x - 14} = -12$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$- 4 x^{2} + 60 x - 56 = 144$$
$$- 4 x^{2} + 60 x - 56 = 144$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- 4 x^{2} + 60 x - 200 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -4$$
$$b = 60$$
$$c = -200$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(60)^2 - 4 * (-4) * (-200) = 400

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = 10$$

Como
$$\sqrt{- x^{2} + 15 x - 14} = 6$$
y
$$\sqrt{- x^{2} + 15 x - 14} \geq 0$$
entonces
$$6 \geq 0$$
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = 10$$
comprobamos:
$$x_{1} = 5$$
$$- \sqrt{14 - x_{1}} + \sqrt{x_{1} - 1} - 1 = 0$$
=
$$\left(- \sqrt{14 - 5} + \sqrt{-1 + 5}\right) - 1 = 0$$
=

-2 = 0

- No
$$x_{2} = 10$$
$$- \sqrt{14 - x_{2}} + \sqrt{x_{2} - 1} - 1 = 0$$
=
$$-1 + \left(- \sqrt{14 - 10} + \sqrt{-1 + 10}\right) = 0$$
=

0 = 0

- la igualdad
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{2} = 10$$
$$x_{1} = 10$$
$$x_{1} = 10$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 10$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 10$$
=
$$\frac{99}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$- \sqrt{14 - x} + \sqrt{x - 1} > 1$$
$$- \sqrt{14 - \frac{99}{10}} + \sqrt{-1 + \frac{99}{10}} > 1$$

    _____     _____    
  \/ 410    \/ 890     
- ------- + ------- > 1
     10        10      
    

Entonces
$$x < 10$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x > 10$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1