lg(x+1)<=2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\log{\left(x + 1 \right)} \leq 2$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\log{\left(x + 1 \right)} = 2$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\log{\left(x + 1 \right)} = 2$$
$$\log{\left(x + 1 \right)} = 2$$
Es la ecuación de la forma:

log(v)=p

Por definición log

v=e^p

entonces
$$x + 1 = e^{\frac{2}{1}}$$
simplificamos
$$x + 1 = e^{2}$$
$$x = -1 + e^{2}$$
$$x_{1} = -1 + e^{2}$$
$$x_{1} = -1 + e^{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = -1 + e^{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(-1 + e^{2}\right)$$
=
$$- \frac{11}{10} + e^{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\log{\left(x + 1 \right)} \leq 2$$
$$\log{\left(1 + \left(- \frac{11}{10} + e^{2}\right) \right)} \leq 2$$

   /  1     2\     
log|- -- + e | <= 2
   \  10     /     

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \leq -1 + e^{2}$$

 _____          
      \    
-------•-------
       x1