log(sin(x/2))<-1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\log{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} < -1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\log{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} = -1$$
Resolvemos:
$$x_{1} = - 2 \operatorname{asin}{\left(e^{-1} \right)} + 2 \pi$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{asin}{\left(e^{-1} \right)}$$
$$x_{1} = - 2 \operatorname{asin}{\left(e^{-1} \right)} + 2 \pi$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{asin}{\left(e^{-1} \right)}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = 2 \operatorname{asin}{\left(e^{-1} \right)}$$
$$x_{1} = - 2 \operatorname{asin}{\left(e^{-1} \right)} + 2 \pi$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 2 \operatorname{asin}{\left(e^{-1} \right)}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 2 \operatorname{asin}{\left(e^{-1} \right)}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\log{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} < -1$$
$$\log{\left(\sin{\left(\frac{- \frac{1}{10} + 2 \operatorname{asin}{\left(e^{-1} \right)}}{2} \right)} \right)} < -1$$

   /    /1        / -1\\\     
log|-sin|-- - asin\e  /|| < -1
   \    \20            //     

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < 2 \operatorname{asin}{\left(e^{-1} \right)}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < 2 \operatorname{asin}{\left(e^{-1} \right)}$$
$$x > - 2 \operatorname{asin}{\left(e^{-1} \right)} + 2 \pi$$