|3x+2|+|2x-3|<=11 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{2 x - 3}\right| + \left|{3 x + 2}\right| \leq 11$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{2 x - 3}\right| + \left|{3 x + 2}\right| = 11$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$2 x - 3 \geq 0$$
$$3 x + 2 \geq 0$$
o
$$\frac{3}{2} \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(2 x - 3\right) + \left(3 x + 2\right) - 11 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$5 x - 12 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = \frac{12}{5}$$

2.
$$2 x - 3 \geq 0$$
$$3 x + 2 < 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

3.
$$2 x - 3 < 0$$
$$3 x + 2 \geq 0$$
o
$$- \frac{2}{3} \leq x \wedge x < \frac{3}{2}$$
obtenemos la ecuación
$$\left(3 - 2 x\right) + \left(3 x + 2\right) - 11 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$x - 6 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = 6$$
pero x2 no satisface a la desigualdad

4.
$$2 x - 3 < 0$$
$$3 x + 2 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < - \frac{2}{3}$$
obtenemos la ecuación
$$\left(3 - 2 x\right) + \left(- 3 x - 2\right) - 11 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- 5 x - 10 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{3} = -2$$


$$x_{1} = \frac{12}{5}$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = \frac{12}{5}$$
$$x_{2} = -2$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = \frac{12}{5}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-2 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{2 x - 3}\right| + \left|{3 x + 2}\right| \leq 11$$
$$\left|{\frac{\left(-21\right) 3}{10} + 2}\right| + \left|{\frac{\left(-21\right) 2}{10} - 3}\right| \leq 11$$

23/2 <= 11

pero

23/2 >= 11

Entonces
$$x \leq -2$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq -2 \wedge x \leq \frac{12}{5}$$

         _____  
        /     \  
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       x2      x1