sqrt(x^2+x-3)>3 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sqrt{\left(x^{2} + x\right) - 3} > 3$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sqrt{\left(x^{2} + x\right) - 3} = 3$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sqrt{\left(x^{2} + x\right) - 3} = 3$$
$$\sqrt{x^{2} + x - 3} = 3$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$x^{2} + x - 3 = 9$$
$$x^{2} + x - 3 = 9$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$x^{2} + x - 12 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = -12$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (1) * (-12) = 49

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -4$$

Como
$$\sqrt{x^{2} + x - 3} = 3$$
y
$$\sqrt{x^{2} + x - 3} \geq 0$$
entonces
$$3 \geq 0$$
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -4$$
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -4$$
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -4$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -4$$
$$x_{1} = 3$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-4 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{41}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sqrt{\left(x^{2} + x\right) - 3} > 3$$
$$\sqrt{-3 + \left(- \frac{41}{10} + \left(- \frac{41}{10}\right)^{2}\right)} > 3$$

  _____    
\/ 971     
------- > 3
   10      
    

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < -4$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < -4$$
$$x > 3$$