log((2^x-7),3)+1>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\log{\left(2^{x} - 7 \right)} + 1 > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\log{\left(2^{x} - 7 \right)} + 1 = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = \frac{- \log{\left(3 \right)} + \log{\left(22 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{1} = \frac{- \log{\left(3 \right)} + \log{\left(22 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{- \log{\left(3 \right)} + \log{\left(22 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{- \log{\left(3 \right)} + \log{\left(22 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{- \log{\left(3 \right)} + \log{\left(22 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\log{\left(2^{x} - 7 \right)} + 1 > 0$$

   /   1    -log(3) + log(22)       \        
   | - -- + -----------------       |        
   |   10           1               |        
   |             log (2)            |        
log\2                         - 7, 3/ + 1 > 0

              /       1    -log(3) + log(22)\    
              |     - -- + -----------------|    
              |       10         log(2)     |    
    pi*I + log\7 - 2                        / > 0
1 + -----------------------------------------    
                      log(3)                     
    

Entonces
$$x < \frac{- \log{\left(3 \right)} + \log{\left(22 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x > \frac{- \log{\left(3 \right)} + \log{\left(22 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1