sqrt(3x-6)-sqrt(2x-3)<1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$- \sqrt{2 x - 3} + \sqrt{3 x - 6} < 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- \sqrt{2 x - 3} + \sqrt{3 x - 6} = 1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$- \sqrt{2 x - 3} + \sqrt{3 x - 6} = 1$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$\left(- \sqrt{2 x - 3} + \sqrt{3 x - 6}\right)^{2} = 1$$
o
$$\left(-1\right)^{2} \left(2 x - 3\right) + \left(\left(-1\right) 2 \sqrt{\left(2 x - 3\right) \left(3 x - 6\right)} + 1^{2} \left(3 x - 6\right)\right) = 1$$
o
$$5 x - 2 \sqrt{6 x^{2} - 21 x + 18} - 9 = 1$$
cambiamos:
$$- 2 \sqrt{6 x^{2} - 21 x + 18} = 10 - 5 x$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$24 x^{2} - 84 x + 72 = \left(10 - 5 x\right)^{2}$$
$$24 x^{2} - 84 x + 72 = 25 x^{2} - 100 x + 100$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- x^{2} + 16 x - 28 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = 16$$
$$c = -28$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(16)^2 - 4 * (-1) * (-28) = 144

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 14$$

Como
$$\sqrt{6 x^{2} - 21 x + 18} = \frac{5 x}{2} - 5$$
y
$$\sqrt{6 x^{2} - 21 x + 18} \geq 0$$
entonces
$$\frac{5 x}{2} - 5 \geq 0$$
o
$$2 \leq x$$
$$x < \infty$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 14$$
comprobamos:
$$x_{1} = 2$$
$$- \sqrt{2 x_{1} - 3} + \sqrt{3 x_{1} - 6} - 1 = 0$$
=
$$\left(- \sqrt{-3 + 2 \cdot 2} + \sqrt{-6 + 2 \cdot 3}\right) - 1 = 0$$
=

-2 = 0

- No
$$x_{2} = 14$$
$$- \sqrt{2 x_{2} - 3} + \sqrt{3 x_{2} - 6} - 1 = 0$$
=
$$-1 + \left(- \sqrt{-3 + 2 \cdot 14} + \sqrt{-6 + 3 \cdot 14}\right) = 0$$
=

0 = 0

- la igualdad
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{2} = 14$$
$$x_{1} = 14$$
$$x_{1} = 14$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 14$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 14$$
=
$$\frac{139}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$- \sqrt{2 x - 3} + \sqrt{3 x - 6} < 1$$
$$- \sqrt{-3 + \frac{2 \cdot 139}{10}} + \sqrt{-6 + \frac{3 \cdot 139}{10}} < 1$$

      _____     ______    
  2*\/ 155    \/ 3570     
- --------- + -------- < 1
      5          10       
    

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x < 14$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1