loq²(3z-1)<1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\log{\left(3 z - 1 \right)}^{2} < 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\log{\left(3 z - 1 \right)}^{2} = 1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\log{\left(3 z - 1 \right)}^{2} = 1$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 2 - contiene un número par 2 en el numerador, entonces
la ecuación tendrá dos raíces reales.
Extraigamos la raíz de potencia 2 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt{\left(0 x + \log{\left(3 z - 1 \right)}\right)^{2}} = \sqrt{1}$$
$$\sqrt{\left(0 x + \log{\left(3 z - 1 \right)}\right)^{2}} = \left(-1\right) \sqrt{1}$$
o
$$\log{\left(3 z - 1 \right)} = 1$$
$$\log{\left(3 z - 1 \right)} = -1$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

log-1+3*z = 1

Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$\log{\left(3 z - 1 \right)} + 1 = 2$$
Esta ecuación no tiene soluciones
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

log-1+3*z = -1

Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$\log{\left(3 z - 1 \right)} + 1 = 0$$
Esta ecuación no tiene soluciones
o

$$x_{1} = 0.455959813723814$$
$$x_{2} = 1.23942727615302$$
$$x_{1} = 0.455959813723814$$
$$x_{2} = 1.23942727615302$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 0.455959813723814$$
$$x_{2} = 1.23942727615302$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 0.455959813723814$$
=
$$0.355959813723814$$
lo sustituimos en la expresión
$$\log{\left(3 z - 1 \right)}^{2} < 1$$
$$\log{\left(3 z - 1 \right)}^{2} < 1$$

   2              
log (-1 + 3*z) < 1
    

Entonces
$$x < 0.455959813723814$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > 0.455959813723814 \wedge x < 1.23942727615302$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2