sqrt(2x-1)+sqrt(x-3)<=4 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sqrt{x - 3} + \sqrt{2 x - 1} \leq 4$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sqrt{x - 3} + \sqrt{2 x - 1} = 4$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sqrt{x - 3} + \sqrt{2 x - 1} = 4$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$\left(\sqrt{x - 3} + \sqrt{2 x - 1}\right)^{2} = 16$$
o
$$1^{2} \left(2 x - 1\right) + \left(2 \sqrt{\left(x - 3\right) \left(2 x - 1\right)} + 1^{2} \left(x - 3\right)\right) = 16$$
o
$$3 x + 2 \sqrt{2 x^{2} - 7 x + 3} - 4 = 16$$
cambiamos:
$$2 \sqrt{2 x^{2} - 7 x + 3} = 20 - 3 x$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$8 x^{2} - 28 x + 12 = \left(20 - 3 x\right)^{2}$$
$$8 x^{2} - 28 x + 12 = 9 x^{2} - 120 x + 400$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- x^{2} + 92 x - 388 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = 92$$
$$c = -388$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(92)^2 - 4 * (-1) * (-388) = 6912

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 46 - 24 \sqrt{3}$$
$$x_{2} = 24 \sqrt{3} + 46$$

Como
$$\sqrt{2 x^{2} - 7 x + 3} = 10 - \frac{3 x}{2}$$
y
$$\sqrt{2 x^{2} - 7 x + 3} \geq 0$$
entonces
$$10 - \frac{3 x}{2} \geq 0$$
o
$$x \leq \frac{20}{3}$$
$$-\infty < x$$
$$x_{1} = 46 - 24 \sqrt{3}$$
comprobamos:
$$x_{1} = 46 - 24 \sqrt{3}$$
$$\sqrt{x_{1} - 3} + \sqrt{2 x_{1} - 1} - 4 = 0$$
=
$$-4 + \left(\sqrt{-3 + \left(46 - 24 \sqrt{3}\right)} + \sqrt{-1 + 2 \left(46 - 24 \sqrt{3}\right)}\right) = 0$$
=

0 = 0

- la igualdad
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = 46 - 24 \sqrt{3}$$
$$x_{1} = 46 - 24 \sqrt{3}$$
$$x_{1} = 46 - 24 \sqrt{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 46 - 24 \sqrt{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(46 - 24 \sqrt{3}\right)$$
=
$$\frac{459}{10} - 24 \sqrt{3}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sqrt{x - 3} + \sqrt{2 x - 1} \leq 4$$
$$\sqrt{-3 + \left(\frac{459}{10} - 24 \sqrt{3}\right)} + \sqrt{-1 + 2 \left(\frac{459}{10} - 24 \sqrt{3}\right)} \leq 4$$

    ________________       ________________     
   / 429        ___       / 454        ___      
  /  --- - 24*\/ 3   +   /  --- - 48*\/ 3   <= 4
\/    10               \/    5                  
     

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \leq 46 - 24 \sqrt{3}$$

 _____          
      \    
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       x1