|x-0,5|<3 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{x - \frac{1}{2}}\right| < 3$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{x - \frac{1}{2}}\right| = 3$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x - \frac{1}{2} \geq 0$$
o
$$\frac{1}{2} \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(x - \frac{1}{2}\right) - 3 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$x - \frac{7}{2} = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = \frac{7}{2}$$

2.
$$x - \frac{1}{2} < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < \frac{1}{2}$$
obtenemos la ecuación
$$\left(\frac{1}{2} - x\right) - 3 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- x - \frac{5}{2} = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = - \frac{5}{2}$$


$$x_{1} = \frac{7}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{5}{2}$$
$$x_{1} = \frac{7}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{5}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{5}{2}$$
$$x_{1} = \frac{7}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{5}{2} + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{13}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{x - \frac{1}{2}}\right| < 3$$
$$\left|{- \frac{13}{5} - \frac{1}{2}}\right| < 3$$

31    
-- < 3
10    

pero

31    
-- > 3
10    

Entonces
$$x < - \frac{5}{2}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > - \frac{5}{2} \wedge x < \frac{7}{2}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1