|2*x-3|(sqrt(6*x^2+7*x-3)-4*x)>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(- 4 x + \sqrt{\left(6 x^{2} + 7 x\right) - 3}\right) \left|{2 x - 3}\right| > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(- 4 x + \sqrt{\left(6 x^{2} + 7 x\right) - 3}\right) \left|{2 x - 3}\right| = 0$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$2 x - 3 \geq 0$$
o
$$\frac{3}{2} \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(- 4 x + \sqrt{6 x^{2} + 7 x - 3}\right) \left(2 x - 3\right) = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$\left(- 4 x + \sqrt{6 x^{2} + 7 x - 3}\right) \left(2 x - 3\right) = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
$$x_{2} = \frac{7}{20} - \frac{\sqrt{71} i}{20}$$
pero x2 no satisface a la desigualdad
$$x_{3} = \frac{7}{20} + \frac{\sqrt{71} i}{20}$$
pero x3 no satisface a la desigualdad

2.
$$2 x - 3 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < \frac{3}{2}$$
obtenemos la ecuación
$$\left(3 - 2 x\right) \left(- 4 x + \sqrt{6 x^{2} + 7 x - 3}\right) = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$\left(3 - 2 x\right) \left(- 4 x + \sqrt{6 x^{2} + 7 x - 3}\right) = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{4} = \frac{3}{2}$$
pero x4 no satisface a la desigualdad
$$x_{5} = \frac{7}{20} - \frac{\sqrt{71} i}{20}$$
pero x5 no satisface a la desigualdad
$$x_{6} = \frac{7}{20} + \frac{\sqrt{71} i}{20}$$
pero x6 no satisface a la desigualdad


$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{3}{2}$$
=
$$\frac{7}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(- 4 x + \sqrt{\left(6 x^{2} + 7 x\right) - 3}\right) \left|{2 x - 3}\right| > 0$$
$$\left(- \frac{4 \cdot 7}{5} + \sqrt{-3 + \left(\frac{7 \cdot 7}{5} + 6 \left(\frac{7}{5}\right)^{2}\right)}\right) \left|{-3 + \frac{2 \cdot 7}{5}}\right| > 0$$

           ____    
  28   4*\/ 29     
- -- + -------- > 0
  25      25       
    

Entonces
$$x < \frac{3}{2}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x > \frac{3}{2}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1