5x-1/(x-3)(x+2)<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$5 x - \frac{x + 2}{x - 3} \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$5 x - \frac{x + 2}{x - 3} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$5 x - \frac{x + 2}{x - 3} = 0$$
Multipliquemos las dos partes de la ecuación por los denominadores:
-3 + x
obtendremos:
$$\left(x - 3\right) \left(5 x - \frac{x + 2}{x - 3}\right) = 0$$
$$5 x \left(x - 3\right) - x - 2 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 5$$
$$b = -16$$
$$c = -2$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-16)^2 - 4 * (5) * (-2) = 296

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \frac{8}{5} + \frac{\sqrt{74}}{5}$$
$$x_{2} = \frac{8}{5} - \frac{\sqrt{74}}{5}$$
$$x_{1} = \frac{8}{5} + \frac{\sqrt{74}}{5}$$
$$x_{2} = \frac{8}{5} - \frac{\sqrt{74}}{5}$$
$$x_{1} = \frac{8}{5} + \frac{\sqrt{74}}{5}$$
$$x_{2} = \frac{8}{5} - \frac{\sqrt{74}}{5}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = \frac{8}{5} - \frac{\sqrt{74}}{5}$$
$$x_{1} = \frac{8}{5} + \frac{\sqrt{74}}{5}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{8}{5} - \frac{\sqrt{74}}{5}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{74}}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$5 x - \frac{x + 2}{x - 3} \leq 0$$
$$5 \left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{74}}{5}\right) - \frac{\left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{74}}{5}\right) + 2}{-3 + \left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{74}}{5}\right)} \leq 0$$

                     ____      
               7   \/ 74       
               - - ------      
15     ____    2     5         
-- - \/ 74  - ------------ <= 0
2                     ____     
                3   \/ 74      
              - - - ------     
                2     5        

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq \frac{8}{5} - \frac{\sqrt{74}}{5}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq \frac{8}{5} - \frac{\sqrt{74}}{5}$$
$$x \geq \frac{8}{5} + \frac{\sqrt{74}}{5}$$