6-3*sqrt(x+3)+x-1>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x + \left(6 - 3 \sqrt{x + 3}\right)\right) - 1 > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x + \left(6 - 3 \sqrt{x + 3}\right)\right) - 1 = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\left(x + \left(6 - 3 \sqrt{x + 3}\right)\right) - 1 = 0$$
$$- 3 \sqrt{x + 3} = - x - 5$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$9 x + 27 = \left(- x - 5\right)^{2}$$
$$9 x + 27 = x^{2} + 10 x + 25$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- x^{2} - x + 2 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = -1$$
$$c = 2$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (-1) * (2) = 9

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$

Como
$$\sqrt{x + 3} = \frac{x}{3} + \frac{5}{3}$$
y
$$\sqrt{x + 3} \geq 0$$
entonces
$$\frac{x}{3} + \frac{5}{3} \geq 0$$
o
$$-5 \leq x$$
$$x < \infty$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$-2 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x + \left(6 - 3 \sqrt{x + 3}\right)\right) - 1 > 0$$
$$-1 + \left(- \frac{21}{10} + \left(6 - 3 \sqrt{- \frac{21}{10} + 3}\right)\right) > 0$$

         ____    
29   9*\/ 10     
-- - -------- > 0
10      10       
    

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < -2$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < -2$$
$$x > 1$$