(2x^2-5x+2)/(x+4)>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\left(2 x^{2} - 5 x\right) + 2}{x + 4} > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\left(2 x^{2} - 5 x\right) + 2}{x + 4} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\left(2 x^{2} - 5 x\right) + 2}{x + 4} = 0$$
Multipliquemos las dos partes de la ecuación por los denominadores:
4 + x
obtendremos:
$$\frac{\left(x + 4\right) \left(\left(2 x^{2} - 5 x\right) + 2\right)}{x + 4} = 0$$
$$2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 2$$
$$b = -5$$
$$c = 2$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-5)^2 - 4 * (2) * (2) = 9

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 2$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{2}$$
=
$$\frac{2}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\left(2 x^{2} - 5 x\right) + 2}{x + 4} > 0$$
$$\frac{\left(- \frac{2 \cdot 5}{5} + 2 \left(\frac{2}{5}\right)^{2}\right) + 2}{\frac{2}{5} + 4} > 0$$

4/55 > 0

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < \frac{1}{2}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < \frac{1}{2}$$
$$x > 2$$