abs(x+3)-abs(2x-1)>1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{x + 3}\right| - \left|{2 x - 1}\right| > 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{x + 3}\right| - \left|{2 x - 1}\right| = 1$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x + 3 \geq 0$$
$$2 x - 1 \geq 0$$
o
$$\frac{1}{2} \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(x + 3\right) - \left(2 x - 1\right) - 1 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$3 - x = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = 3$$

2.
$$x + 3 \geq 0$$
$$2 x - 1 < 0$$
o
$$-3 \leq x \wedge x < \frac{1}{2}$$
obtenemos la ecuación
$$- (1 - 2 x) + \left(x + 3\right) - 1 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$3 x + 1 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = - \frac{1}{3}$$

3.
$$x + 3 < 0$$
$$2 x - 1 \geq 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

4.
$$x + 3 < 0$$
$$2 x - 1 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < -3$$
obtenemos la ecuación
$$- (1 - 2 x) + \left(- x - 3\right) - 1 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$x - 5 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{3} = 5$$
pero x3 no satisface a la desigualdad


$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = - \frac{1}{3}$$
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = - \frac{1}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{1}{3}$$
$$x_{1} = 3$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{3} + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{13}{30}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{x + 3}\right| - \left|{2 x - 1}\right| > 1$$
$$- \left|{-1 + \frac{\left(-13\right) 2}{30}}\right| + \left|{- \frac{13}{30} + 3}\right| > 1$$

7/10 > 1

Entonces
$$x < - \frac{1}{3}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > - \frac{1}{3} \wedge x < 3$$

         _____  
        /     \  
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       x2      x1