(9x^2+12x+4)*(x-2)<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x - 2\right) \left(\left(9 x^{2} + 12 x\right) + 4\right) < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x - 2\right) \left(\left(9 x^{2} + 12 x\right) + 4\right) = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(x - 2\right) \left(\left(9 x^{2} + 12 x\right) + 4\right) = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x - 2 = 0$$
$$9 x^{2} + 12 x + 4 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x - 2 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 2$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 2
2.
$$9 x^{2} + 12 x + 4 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 9$$
$$b = 12$$
$$c = 4$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(12)^2 - 4 * (9) * (4) = 0

Como D = 0 hay sólo una raíz.

x = -b/2a = -12/2/(9)

$$x_{2} = - \frac{2}{3}$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = - \frac{2}{3}$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = - \frac{2}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{2}{3}$$
$$x_{1} = 2$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{2}{3} + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{23}{30}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x - 2\right) \left(\left(9 x^{2} + 12 x\right) + 4\right) < 0$$
$$\left(-2 - \frac{23}{30}\right) \left(\left(\frac{\left(-23\right) 12}{30} + 9 \left(- \frac{23}{30}\right)^{2}\right) + 4\right) < 0$$

-249     
----- < 0
 1000    

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < - \frac{2}{3}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < - \frac{2}{3}$$
$$x > 2$$