sqrt(2x-3)-3+x>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$x + \left(\sqrt{2 x - 3} - 3\right) \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$x + \left(\sqrt{2 x - 3} - 3\right) = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$x + \left(\sqrt{2 x - 3} - 3\right) = 0$$
$$\sqrt{2 x - 3} = 3 - x$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$2 x - 3 = \left(3 - x\right)^{2}$$
$$2 x - 3 = x^{2} - 6 x + 9$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- x^{2} + 8 x - 12 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = 8$$
$$c = -12$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(8)^2 - 4 * (-1) * (-12) = 16

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 6$$

Como
$$\sqrt{2 x - 3} = 3 - x$$
y
$$\sqrt{2 x - 3} \geq 0$$
entonces
$$3 - x \geq 0$$
o
$$x \leq 3$$
$$-\infty < x$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{1} = 2$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 2$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 2$$
=
$$\frac{19}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$x + \left(\sqrt{2 x - 3} - 3\right) \geq 0$$
$$\left(-3 + \sqrt{-3 + \frac{2 \cdot 19}{10}}\right) + \frac{19}{10} \geq 0$$

           ___     
  11   2*\/ 5      
- -- + ------- >= 0
  10      5        
     

pero

           ___    
  11   2*\/ 5     
- -- + ------- < 0
  10      5       
    

Entonces
$$x \leq 2$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq 2$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1